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二項式公式 二項式公式定理

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二項式公式 二項式公式定理

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大家好,小跳來為大家解答以上的問題 。二項式公式定理 ， 二項式公式這個很多人還不知道,現在讓我們一起來看看吧！
1、二項式定理論述了(a＋b)n的展開式 。
2、人們只要有初步的代數知識和足夠的毅力 ， 便可以得到如下公式，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 等等 。
3、對于(a＋b)12 ， 人們顯然希望不必經由(a＋b)十幾次自乘的冗長計算，就能夠發現其展開式中a7b5的系數 。
4、早在牛頓出生之前很久，人們便已提出并解決了二項式的展開式問題 。
5、中國數學家楊輝早在13世紀就發現了二項式的秘密，但他的著作直到近代才為歐洲人所知 。
6、維埃特在其《分析術引論》前言的命題XI中也同樣論證了二項式問題 。
7、但這一偉大發現通常是以布萊茲·帕斯卡的名字命名的 。
8、帕斯卡注意到，二項式的系數可以很容易地從我們現在稱為“帕斯卡三角”的排列中得到： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 等等 在這個三角形中 ， 每一個新增數字都等于其上左右兩個數字之和 。
9、因此，根據帕斯卡三角，下一行的數值為 1 8 28 56 70 56 28 8 1 例如，表值56就等于其上左右兩個數字21＋35之和 。
10、 帕斯卡三角與（a＋b）8展開式之間的聯系是非常直接的，因為三角形的最后一行數值為我們提供了必要的系數，即 （a＋b）8＝a8＋8a7b＋28a6b2＋56a5b3 ＋70a4b4＋56a3b5＋28a2b6＋8ab7＋b8 我們只要將三角形的數值再向下延伸幾行，就可以得到（a＋b）12展開式中a7b5的系數為792 。
11、所以，帕斯卡三角的實用性是非常明顯的 。
12、 年輕的牛頓經過對二項展開式的研究，發明了一個能夠直接導出二項式系數的公式，而不必再繁瑣地延伸三角形到所需要的那行了 。
13、并且，他對模式的持續性的固有信念使他認為，能夠正確推導出諸如(a＋b)2或(a＋b)3 這種形式的二項式 。
14、 關于分數指數和負數指數問題，在此還需多說一句 。
15、我們知道，在初等 這些關系 。
16、 以下所列牛頓的二項展開式公式是他在1676年寫給其同時代偉人戈特弗里德·威廉·萊布尼茲的一封信中闡明的（此信經由皇家學會的亨利·奧爾登伯格轉交） 。
17、牛頓寫道： 項式的“指數是整數還是（比如說）分數，是正數還是負數”的問題 。
18、公式中的A、B、C等表示展開式中該字母所在項的前一項 。
19、 對于那些見過現代形式的二項展開式的讀者來說，牛頓的公式可能顯得過于復雜和陌生 。
20、但只要仔細研究一下，就可以解決讀者的任何疑問 。
21、我們首先來看， 出 也許，這種形式看起來就比較熟悉了 。
22、 我們不妨應用牛頓的公式來解一些具體例題 。
23、例如，在展開(1＋x)3時，這恰恰就是帕斯卡三角的非列系數 。
24、并且，由于我們的原指數是正整數3，所以，展開式到第四項結束 。
25、 但是，當指數是負數時，又有一個完全不同的情況擺在牛頓面前 。
26、例如，展開(1＋x)－3，根據牛頓公式，我們得到 或簡化為 方程右邊永遠沒有終止 。
27、應用負指數定義 ， 這一方程就成為 或其等價方程 牛頓將上式交叉相乘并消去同類項，證實 （1＋3x＋3x2＋x3）（1＋3x＋6x2－10x3＋15x4－……）＝1 牛頓用等式右邊的無窮級數自乘，也就是求這無窮級數的平方，以檢驗這一貌似奇特的公式，其結果如下： 所以 這就證實了 與牛頓原推導結果相同 。
28、 牛頓寫道；“用這一定理進行開方運算非常簡便 。
29、”例如 ， 假設我們求 現在，將等式右邊的平方根代入前面標有（）符號的二項展開式中的前6項，當然，此處要用29替換原公式中的x，因而，我 了前6個常數項 。
30、如果我們取二項展開式中更多的項，我們就會得到更加精確的近似值 。
31、并且，我們還可以用同樣的方法求出三次根、四次根，等等，續演算 。
32、 別奇怪的 。
33、而真正令人吃驚的是，牛頓的二項式定理精確地告訴我們應該采用哪些分數，而這些分數則是以一種完全機械的方式得出的，無須任何特殊的見解與機巧 。
34、這顯然是一個求任何次方根的有效而巧妙的方法 。
35、 二項式定理是我們即將討論的偉大定理的兩個必要前提之一 。
36、另一個前提是牛頓的逆流數，也就是我們今天所說的積分 。
37、但是，對逆流數的詳盡說明屬于微積分問題，超出了本書的范圍 。
38、然而，我們可以用牛頓的話來闡述其重要定理，并舉一兩個例子來加以說明 。
39、 牛頓在1669年中撰著的《運用無窮多項方程的分析學》一書中提出了逆流數問題，但這部論著直到1711年才發表 。
40、這是牛頓第一次提出逆流數問題，他將他的這部論文交給幾個數學同事傳閱 。
41、比如 ， 我們知道，艾薩克·巴羅就曾看到過這部論文，他在1669年7月20日給他一個熟人的信里寫道：“……我的一個朋友……在這些問題上很有天分，他曾帶給我幾篇論文 。
42、”巴羅或《分析學》一書的任何其他讀者遇到的第一個法則如下 。
43、 設任意曲線AD的底邊為AB ， 其垂直縱邊為BD，設AB＝x，BD＝y，并設a、b、c等為已知量，m和n為整數 。
44、則： 到x點之內的圖形的面積 。
45、根據牛頓法則，這一圖形的面積為 按照牛頓公式，面積為12x2，對這一結果，可以很容易地用三角形面積公式 牛頓又進一步說明了《分析學》一書的法則2，“如果y值是由幾項之和組成的，那么，其面積也同樣等于每一項面積之和 。
46、”例如，他寫道，曲 那么 ， 牛頓所采用的兩個工具就是：二項式定理和求一定曲線下面積的流數法 。
47、他運用這兩個工具，可以得心應手地解決許多復雜的數學與物理問題，而我們將要看到的是牛頓如何應用這兩個工具，使一個古老的問題獲得了全新的生命：計算π的近似值 。
48、我們在第四章的后記中 ， 追溯了這一著名數字的某些歷史，確認了某些學者 ， 如阿基米德、韋達和盧道爾夫·馮瑟倫在計算更精確的π近似值方面所作出的貢獻 。
49、1670年左右，這個問題引起了艾薩克·牛頓的注意 。
50、他運用他奇妙的新方法，對這一古老問題進行研究 ， 并取得了輝煌的成就 。
【二項式公式 二項式公式定理】本文到此分享完畢，希望對大家有所幫助 。