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向量共線 向量共線的條件

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向量共線 向量共線的條件

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關于向量共線的條件，向量共線這個很多人還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現在讓我們一起來看看吧！
1、如果a≠0，那么向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得b=λa 。
2、證明：1）充分性：對于向量 a(a≠0)、b，如果有一個實數λ，使 b=λa，那么由實數與向量的積的定義 知，向量a與b共線 。
3、2）必要性：已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣ 。
4、那么當向量a與b同方向時，令 λ=m，有 b =λa，當向量a與b反方向時，令 λ=-m，有 b=-λa 。
5、如果b=0，那么λ=0 。
6、3）唯一性：如果 b=λa=μa，那么 (λ-μ)a=0 。
7、但因a≠0 ， 所以 λ=μ 。
8、推論1兩個向量a、b共線的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=0 。
9、證明：1）充分性，不妨設μ≠0，則由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a 。
10、由 共線向量基本定理 知 ， 向量a與b共線 。
11、2）必要性，已知向量a與b共線 ， 若a≠0，則由共線向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，實數λ、μ不全為零 。
12、若a=0，則取μ=0，取λ為任意一個不為零的實數，即有 λa+μb=0 。
13、證畢 。
【向量共線 向量共線的條件】14、推論2兩個非零向量a、b共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=0 。
15、證明：1）充分性 ， ∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a 。
16、由 共線向量基本定理 知，向量a與b共線 。
17、2）必要性，∵向量a與b共線，且a≠0，則由 共線向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，實數λ、μ全不為零 。
18、證畢 。
19、推論3如果a、b是兩個不共線的向量，且存在一對實數λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0 。
20、證明：（反證法）不妨假設μ≠0，則由 推論1 知，向量a、b共線；這與已知向量a、b不共線矛盾，故假設是錯的 ， 所以λ=μ=0 。
21、證畢 。
22、推論4如果三點P、A、B不共線，那么點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一實數λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB 。
23、（其中，向量AC=λ向量AB） 。
24、證明：∵三點P、A、B不共線，∴向量AB≠0，由 共線向量基本定理 得，點C在直線AB上 <=> 向量AC 與 向量AB 共線 <=> 存在唯一實數λ，使 向量AC=λ·向量AB∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線，∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB 。
25、證畢 。
26、推論5如果三點P、A、B不共線，那么點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一一對實數λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB 。
27、（其中，λ+μ=1）證明：在推論4 中，令 1-λ=μ，則λ+μ=1，知：三點P、A、B不共線 <=> 點C在直線AB上的充要條件是：存在實數λ、μ ， 使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB 。
28、（其中，λ+μ=1）下面證唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，則 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，即 ， （m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線，由 推論3 知，m=λ，n=μ 。
29、證畢 。
30、推論6如果三點P、A、B不共線，那么點C在直線AB上的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ、ν ， 使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0 ， λ+μ+ν=0 。
31、證明：1）充分性，由推論5 知，若三點P、A、B不共線，則 點C在直線AB上 <=> 存在實數λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中 ， λ+μ=1） 。
32、取ν=-1，則有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且實數λ、μ、ν不全為零 。
33、2）必要性，不妨設ν≠0 ， 且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，則 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB ， （-λ/ν）+（-μ/ν）=1 。
34、由推論5 即知，點C在直線AB上 。
35、證畢 。
36、推論7點P是直線AB外任意一點 ， 那么三不同點A、B、C共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0 。
37、證明：（反證法）∵點P是直線AB外任意一點，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0 ， 且 向量PA、向量PB、向量PC兩兩不共線 。
38、由推論6 知，實數λ、μ、ν不全為零，1）假設實數λ、μ、ν中有兩個為零，不妨設λ≠0，μ=0 ， ν=0 。
39、則 λ向量PA=0 ， ∴向量PA=0 。
40、這與向量PA≠0 。
41、2）假設實數λ、μ、ν中有一個為零 ， 不妨設λ≠0，μ≠0，ν=0 。
42、則 λ向量PA+μ向量PB=0 ， ∴向量PA=（μ/λ）·向量PB ， ∴向量PA 與 向量PB共線，這與向量PA 與 向量PB不共線矛盾 。
43、證畢 。
本文到此分享完畢，希望對大家有所幫助 。