『求過直線且與球面相切的平面方程』在第一封卦限內作球面xx yy zz=1的切平面,使得切平面與三坐標面所圍的四面體的體積最小.求切點的坐標. _直線與球面交點

在第一卦限內x^2 y^2 z^2=a^2 上一點p使在該點除球面的切平面與三坐標平面所圍
。。。。。。。。。無語。。。。

在第一封卦限內作球面xx yy zz=1的切平面,使得切平面與三坐標面所圍的四面體的體積最小.求切點的坐標.
設切點為(x0,y0,c0)
則x^2 y^2 z^2=1在(x0,y0,z0)的法向量就是(x0,y0,z0)（從球心(0,0,0)指向(x0,y0,z0)的半徑方向）
所以切為x0(x-x0) y0(y-y0) z0(z-z0)=0
設切平面在三坐標軸的截距為a,b,c
令y0=z0=0得：x0(a-x0) y0(0-y0) z0(0-z0)=0
解得a=(x0^2 y0^2 z0^2)/x0=1/x0
同理可證b=1/y0
c=1/z0
而V=(1/2ab)c*1/3=1/6abc
于是V=1/(6*x0*y0*z0)，于是問題變成了V=1/(6xyz)在x^2 y^2 z^2=1的條件極值
構造拉格朗日函數F(x,y,z)=1/(6xyz)-λ(x^2 y^2 z^2-1)
對λ的偏導為0：x^2 y^2 z^2-1=0
對x的偏導為0：lnx/(6yz)-2λx=0，即λ=lnx/(12xyz)
同理可得：λ=lnx/(12xyz)=lny/(12xyz)=lnz/(12xyz)
即lnx=lny=lnz，也就是x=y=z，又x^2 y^2 z^2-1=0，x>0，y>0，z>0（第一卦限）
得到x=y=z=√3/3
即切點(x0,y0,z0)取(√3/3,√3/3,√3/3)體積有最小值

求球面x^2 y^2 z^2=1在第一卦限部分的切平面,使它與三坐標軸平面圍成的四面體有最小體積
球面在第一的法向量(x0，y0，z0)平面方程為(x－x0)x0 (y－y0)y0 (z－z0)z0＝0xx0 yy0 zz0＝1三坐標軸的交(1/x0，1/y0，1/z0)，四面體的體積為1/(6x0y0z0)，因此問題就是求x0y0z0的最大值，條件為x0^2 y0^2 z0^2=1 。由于1＝x0^2 y0^2 z0^2>=3×三次根號(x0^2y0^2z0^2)，于是x0y0z0<=1/根號(27)，故最小體積是根號(27)/6＝根號(3)/2 。當且僅當x0＝y0＝z0＝1/根號(3)時達到最小體積。