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官方雙語微積分的本質

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1、兩種重要的、針對函數的運算：求導與積分 。它們的運算結果也是一個函數 。先說求導 。對于函數 f(x) ，它的導函數 （即求導運算的結果，簡稱導數）記作 f′(x)。簡單來說，f′(x0) 就是f(x) 在 x0 這點的切線斜率 。即，f′(x) 是 f(x) 的切線斜率關于切點橫坐標的函數 。
【官方雙語微積分的本質】為了方便描述，引入一個表示「微小變化量」（自己起的名字）的符號 。以后默認用 dx 表示變量 x 的變化量（ dy 表示變量 y 的變化量 ， 以此類推），且 dx 趨近于 0。那么對于 x0 和它的函數值 f(x)=y，設當 x 增加了 dx 時 y 增加了 dy。由于這個變化量是「微小」（趨近于 0 ）的，所以 x 和 x+dx 之間的函數圖象可以近似成一條直線 ， 它的斜率就是 dydx。因此，有時也把導函數寫成 f′(x)=dydx。
注意，不同的 x 會造成 dy 取不同的值 。有點懵？先從最簡單的例子，一次函數說起 。顯然，無論 x 如何改變，也無論 dx 取何值（哪怕不趨近于 0 ），dydx 都是一個定值 ， 即這個一次函數的斜率 k （換句話說，這個一次函數處處的切線都與它本身重合） 。因此 ， 一次函數的導數是一個常函數 f′(x)=k。
再舉一個稍復雜的例子 。對于 f(x)=x2，可以這樣求出它的導函數：f′(x)=dydx=f(x+dx)?f(x)dx=(x+dx)2?x2dx=2dx?x+dx2dx=2x+dx由于 dx 趨近于 0 ，所以 f′(x)=2x。于是我們成功算出了 f(x)=x2 的導數是 f′(x)=2x。不妨再拓展一下，證明 f(x)=xk 的導數是 f′(x)=kxk?1。做法和剛才類似（其中用了一次二項式定理）：f′(x0)=f(x0+dx)?f(x0)dx=(x0+dx)k?xk0dx=∑ki=0Cikxi0dxk?i?xk0dx=∑k?1i=0Cikxi0dxk?idx=∑i=0k?1Cikxi0dxk?i?1 。
到這里似乎不知道怎么辦了？別忘了 dx 趨近于 0，所以只有 k?i?1=0 即 i=k?1 這一項是非 0 的！激動.jpg。所以 ， f′(x0)=kxk?10。x0 是任意的，所以 f′(x)=kxk?1。
2、導數的加減：h(x)=f(x)+g(x),h′(x)=f′(x)+g′(x) 。設 yf=f(x) ，yg=g(x)，yh=h(x) （類似的記號下面不再贅述） ，同時別忘了 f′(x)=dyfdx，g′(x)=dygdx ，則有：∵yh=yf+yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)+(yg+dyg)∴dyh=dyf+dyg=f′(x)dx+g′(x)dx=(f′(x)+g′(x))dx兩邊同時除以 dx，得到 h′(x)=dyhdx=f′(x)+g′(x)。
3、導數的乘法：h(x)=f(x)g(x),h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)口訣：「左乘右導 ， 右乘左導」證明如下：∵yh=yf?yg,(yh+dyh)=(yf+dyf)?(yg+dyg)∴dyh=yf?yg+yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg?yh=yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg=f(x)?g′(x)dx+g(x)?f′(x)dx+f′(x)dx?g′(x)dx兩邊同時除以 dx 得：h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)+f′(x)g′(x)dx同樣，帶 dx 的項趨近于 0 ，因此 h′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)。
4、鏈式法則：若 h(x)=f(g(x))，則 h′(x)=f′(g(x))?g′(x)。當自變量從 x0 變成 x0+dx ，則 yf 的變化量是 f′(x0)dx。現在，g 的自變量的變化量是 dx，yg 的變化量是 g′(x)dx ，所以 yf 的變化量是 f′(g(x))?g′(x)dx （注意 f 的自變量的初值是 g(x) 不是 x ） 。因此 h′(x)=f′(g(x))?g′(x)。
5、導數的除法：若 h(x)=f(x)g(x)  ， 則 h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2 。
6、證明：∵yh=yfyg,(yh+dyh)=yf+dyfyg+dyg∴dyh=yf+dyfyg+dyg?yfyg=yg(yf+dyf)?yf(yg+dyg)yg(yg+dyg)=g(x)f(x)+g(x)f′(x)dx?f(x)g(x)?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx=g(x)f′(x)dx?f(x)g′(x)dxg(x)2+g(x)g′(x)dx 。兩邊同時除以 x ，得到：h′(x)=g(x)f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2+g(x)g′(x)dx，由于 dx 趨于 0 ，所以：h′(x)=g(x、f′(x)?f(x)g′(x)g(x)2 。