三角形內切圓半徑公式的推導三角形外接圓半徑公式推導 _三角形外接圓半徑公式推導

文章插圖

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64..如圖1，△PMN中，PM=PN，⊙O是△PMN的外接圓，Q為⊙O上一點，QM交PN于R，MN^2=PN×NR，S為△MNR的內心，若∠Q=30°，⊙O的半徑為3＋√3，求OS的長.
圖1
分析主要思路分三步
（1）由MN^2=PN×NR證明∠QMN=∠P=∠Q得底角為30°的等腰△NMQ；
（2）連ON，證S必在ON上；
（3）作ST⊥MN，在等邊△OMN和含30°銳角Rt△SNT中，利用邊角關系求出內切圓⊙S的半徑，進而求出OS.
實際操作（如圖2）
圖2
第一步 MN^2=PN×NR
=＞MN：PN=NR：MN
且∠MNR=∠PNM=＞△MNR∽△PNM
=＞∠NMR=∠NPM=∠Q= 30°
=＞NQ=NM且N為弧QNM的中點；
第二步連ON，N為弧QNM的中點
=＞ON⊥QM，垂足為U，又NQ=NM
=＞ON平分∠MNQ=＞S在ON上；
第三步連OM，作ST⊥MN，T為垂足，∠P= 30°
=＞∠MON=60°且OM=ON
=＞等邊△MON=＞OM=ON=MN=3＋√3
=＞Rt△MNU中，∠NMU=30°
=＞NU=1/2MN=（3＋√3）/2；
在Rt△NST中，∠NST=30°=＞設ST=r，
則SU=r，NT=r/√3，NS=2NT= 2r/√3
NU=NS＋SU=＞（3＋√3）/2=r＋2r/√3
解得r=3（√3－1）/2=＞NS=3－√3
OS=ON－NS=（3＋√3）－（3－√3）=2√3.
反思
1.幾何計算題都有夾敘夾議風格，兼具證明與計算，解答過程顯得瑣碎，因而書寫過程要詳略得當，突出關鍵細節。本題中解答中S為什么在ON上是得分點之一，必須詳細寫出，但實際中學生很容易忽視而失分。
2. 本題構圖十分復雜，計算中要涉及7個三角形，分別是相似△MNR和△PNM，頂角為30°的等腰△PMN，底角為30°的等腰△NMQ，等邊△MON，含30°的直角三角形NST和NMU需要較強的觀察能力和綜合能力。
3. 建立方程求內切圓半徑r，方程等量關系NU=NS＋SU三條線段統一用r表示，在復雜的構圖中發現線段間的數量關系并不容易，也需要較強的觀察能力和綜合能力。
【三角形內切圓半徑公式的推導三角形外接圓半徑公式推導】4. 建立方程求內切圓半徑r，也可利用△NQM面積=內心分△NQM所得三個三角形面積之和建立方程來求r（過程略）.

三角形內切圓半徑公式的推導 三角形外接圓半徑公式推導

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