泛函分析孫炯課后答案，泛函分析有多難 _經驗分享

什么是泛函分析

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函數構成的空間。泛函分析是由對變換（如傅立葉變換等）的性質的研究和對微分方程以及積分方程的研究發展而來的。使用泛函作為表述源自變分法，代表作用于函數的函數。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理論的主要奠基人之一，而數學家兼物理學家伏爾泰拉（Vito Volterra）對泛函分析的廣泛應用有重要貢獻。泛函分析是20世紀30年代形成的數學分科。是從變分問題，積分方程和理論物理的研究中發展起來的。它綜合運用函數論，幾何學，代數學的觀點來研究無限維向量空間上的函數，算子和極限理論。它可以看作無限維向量空間的解析幾何及數學分析。主要內容有拓撲線性空間等。泛函分析在數學物理方程，概率論，計算數學等分科中都有應用，也是研究具有無限個自由度的物理系統的數學工具。泛函分析是研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種拓撲和代數條件的映射的分支學科。量子力學數學描述的基礎。更一般的泛函分析也研究Fréchet空間和拓撲向量空間等沒有定義范數的空間。泛函分析所研究的一個重要對象是巴拿赫空間和希爾伯特空間上的連續線性算子。這類算子可以導出C*代數和其他算子代數的基本概念。1. 希爾伯特空間希爾伯特空間可以利用以下結論完全分類，即對于任意兩個希爾伯特空間，若其基的基數相等，則它們必彼此同構。對于有限維希爾伯特空間而言，其上的連續線性算子即是線性代數中所研究的線性變換。對于無窮維希爾伯特空間而言，其上的任何態射均可以分解為可數維度（基的基數為50）上的態射，所以泛函分析主要研究可數維度上的希爾伯特空間及其態射。希爾伯特空間中的一個尚未完全解決的問題是，是否對于每個希爾伯特空間上的算子，都存在一個真不變子空間。該問題在某些特定情況下的答案是肯定的。2. 巴拿赫空間一般的巴拿赫空間比較復雜，例如沒有通用的辦法構造其上的一組基。對于每個實數p，如果p ≥ 1，一個巴拿赫空間的例子是“所有絕對值的p次方的積分收斂的勒貝格可測函數”所構成的空間。（參看Lp空間）在巴拿赫空間中，相當部分的研究涉及到對偶空間的概念，即巴拿赫空間上所有連續線性泛函所構成的空間。對偶空間的對偶空間可能與原空間并不同構，但總可以構造一個從巴拿赫空間到其對偶空間的對偶空間的一個單同態。微分的概念可以在巴拿赫空間中得到推廣，微分算子作用于其上的所有函數，一個函數在給定點的微分是一個連續線性映射。佐恩引理（Zorn's Leema）。此外，泛函分析中大部分重要定理都構建與罕-巴拿赫定理的基礎之上，而該定理本身就是選擇公理（Axiom of Choice）弱于布倫素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一個形式。數學物理，從更廣義的角度來看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示論的大部分類型的問題。阿達瑪發表的著作中，出現了把分析學一般化的萌芽。隨后，希爾伯特和海令哲來創了“希爾伯特空間”的研究。到了二十年代，在數學界已經逐漸形成了一般分析學，也就是泛函分析的基本概念。由于分析學中許多新部門的形成，揭示出分析、代數、集合的許多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代數方程求根和微分方程求解都可以應用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現得就更為突出了。泛函分析的產生正是和這種情況有關，有些乍看起來很不相干的東西，都存在著類似的地方。因此它啟發人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬于本質的東西。非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認知，n維空間幾何的產生允許我們把多變函數用幾何學的語言解釋成多維空間的影響。這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時存在著把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進一步推廣，以至最后把歐氏空間擴充成無窮維數的空間。這時候，函數概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數概念是指兩個數集之間所建立的一種對應關系。現代數學的發展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應關系。這里我們先介紹一下算子的概念。算子也叫算符，在數學上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做算子。研究無限維線性空間上的泛函數和算子理論，就產生了一門新的分析數學，叫做泛函分析。在二十世紀三十年代，泛函分析就已經成為數學中一門獨立的學科了。概率論、計算數學、連續介質力學、量子物理學等學科有著廣泛的應用。近十幾年來，泛函分析在工程技術方面有獲得更為有效的應用。它還滲透到數學內部的各個分支中去，起著重要的作用。
什么是泛函分析？怎么理解簡單一些以認為學簡單的泛函分析不需要實變函數的基礎，簡單的代數和拓撲知識更有用，稍復雜一些的泛函分析則最好是各科基礎都需要，一來很多技術手段是差不多的，二來泛函分析比較抽象，各種例子都會幫助理解，所以即使是學簡單的泛函分析也最好先對別的課程有所了解，否則雖然完全可以學但不見得理解得很深入。

對于實分析的不適應也許是數學分析和復分析接觸得太多了一時間無法轉變思維方式，這個習慣了就好，多從高層次去理解證明的主線而非細節。實變函數和泛函分析這種課程本科就應該或多或少講過一些了，怎么會到研究生才開始學呢？晚是晚了一點，不過再困難也得慢慢啃下來，否則這些思想的缺失會影響到進一步的學習和研究。追問實變我們本科開過，但是那時只顧準備考研了，實變學的很淺很淺，期末考試靠劃題。泛函我們本科壓根沒開過。。。現在該讀研了，老師讓看這些，現在就愁了，整天惡補，但是還是暈乎的。真想學，也認真自學了，但總有霧里看花的感覺。好象會又好象什么都不會。。。
做夢都是做題，真的。。。
請問學泛函還要會拓補？天啊。。。本來只愁實變，現在還要再惡補拓補。。。
加油吧，慢慢學吧。。。
泛函分析的主要方向是什么？泛函分析是一個相當廣闊的領域，你將來可以從事基礎理論研究，也可以從事應用研究，具體地說，泛函分析目前大概有四個分支，空間理論，算子理論與算子代數，非線性泛函分析和應用泛函分析，后兩者是應用方向的，可以向偏微分方程，控制，最優化等方向轉。如果想從事前兩者的研究，特別是算子理論和算子代數，需要你對分析（實分析，復分析），拓撲（一般拓撲），代數（近世代數，結合代數理論）等都有一定的知識儲備，從而可以在具體的研究方向上，通過讀很好的綜述文章，以及最新的文獻，在了解了此方向的來龍去脈后，才可能提出自己的問題，寫文章。一定要打下堅實的基礎之后，才能寫文章；我知道年輕一點的有北大的老葛最后，目前泛函分析與其他的數學分支有很多交叉學科，你不妨看一下，祝你成功
你對泛函分析有什么理解感受泛函是對函數概念的一種深化，能教給人們更加本質的方面理解世界。

它比通常的抽象數學有更加形象，因為有大量的函數例子使它不至于空洞。

另外泛函在應用上非常廣泛，在武漢大學哲學系實驗班的課程表中也有泛函分析！
變分法泛函分析【泛函分析孫炯課后答案，泛函分析有多難】變分法的基礎部分不用學泛函就能學懂，只要你數學分析（高數）基礎還可以。泛函比較難，自學要很久才能學通。所以，如果你只是想應用變分法去解決實際問題，那泛函就沒有必要學了，你只要看看變分法就行了。至于實變函數論嗎，你要是今后不想研究純數學，就不用學了；不過你要是想鍛煉一下思維，那實函絕對是本好書，學懂了你對數學的認識也進了一大步，要知道越難的知識對人水平的提高也越大。