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高一必修一數學知識點

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高一數學必修1各章知識點總結
第一章集合與函數概念
一、集合有關概念
1.集合的含義
2.集合的中元素的三個特性：
(1)元素的確定性如：世界上最高的山
(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的無序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。
u注意：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集）記作：N
正整數集N*或 N+整數集Z有理數集Q實數集R
1）列舉法：{a,b,c……}
2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4）Venn圖:
4、集合的分類：
(1)有限集含有有限個元素的集合
(2)無限集含有無限個元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
二、集合間的基本關系
1.“包含”關系—子集
注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2．“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”
即：① 任何一個集合是它本身的子集。AíA
②真子集:如果AíB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)
③如果 AíB, BíC ,那么 AíC
④ 如果AíB同時 BíA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
u有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
三、集合的運算
運算類型交集并集補集定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A B（讀作‘A交B’），即A B=｛x|x A，且x B｝．由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：A B（讀作‘A并B’），即A B ={x|x A，或x B})．設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集） S A 記作，即 CSA= 韋恩圖示 S A 性質 A A=A A Φ=Φ A B=B A A B A A B B A A=A A Φ=A A B=B A A B Ａ A B B (CuA) (CuB) = Cu (A B) (CuA) (CuB) = Cu(A B) A (CuA)=U A (CuA)= Φ．例題：
1.下列四組對象，能構成集合的是（）
A某班所有高個子的學生B著名的藝術家 C一切很大的書 D 倒數等于它自身的實數
2.集合{a，b，c }的真子集共有個
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0}，則M與N的關系是.
4.設集合A= ，B= ，若A B，則的取值范圍是
5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，
兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。
6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
二、函數的有關概念
1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域．
注意：
1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。
求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被開方數不小于零；
(3)對數式的真數必須大于零；
(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等于零，
(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
u相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關例2)
2．值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 .
(2) 畫法
A、描點法：
B、圖象變換法
常用變換方法有三種
1)平移變換
2)伸縮變換
3)對稱變換
4．區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
（2）無窮區間
（3）區間的數軸表示．
5．映射
一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象） B（象）”
對于映射f：A→B來說，則應滿足：
(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；
(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
6.分段函數
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。
(2)各部分的自變量的取值情況．
(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．
補充：復合函數
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。
二．函數的性質
1.函數的單調性(局部性質)
（1）增函數
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.
如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
注意：函數的單調性是函數的局部性質；
（2）圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.
(3).函數單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法：
1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差f(x1)－f(x2)；
3 變形（通常是因式分解和配方）；
4 定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
5 下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)復合函數的單調性
復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”
注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.
8．函數的奇偶性（整體性質）
（1）偶函數
一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．
（2）．奇函數
一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．
（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征
偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．
利用定義判斷函數奇偶性的步驟：
1首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；
2確定f(－x)與f(x)的關系；
3作出相應結論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數．
注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .
9、函數的解析表達式
（1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.
（2）求函數的解析式的主要方法有：
1)湊配法
2)待定系數法
3)換元法
4)消參法
10．函數最大（小）值（定義見課本p36頁）
1 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值
2 利用圖象求函數的最大（小）值
3 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
例題：
1.求下列函數的定義域：
⑴⑵
2.設函數的定義域為，則函數的定義域為__
3.若函數的定義域為，則函數的定義域是
4.函數，若，則 =
5.求下列函數的值域：
⑴⑵
(3)(4)
6.已知函數，求函數，的解析式
7.已知函數滿足，則 =。
8.設是R上的奇函數，且當時, ,則當時 =
在R上的解析式為
9.求下列函數的單調區間：
⑴⑵⑶
10.判斷函數的單調性并證明你的結論．
11.設函數判斷它的奇偶性并且求證：．
第二章基本初等函數
一、指數函數
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 >1，且 ∈ *．
u負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。
當是奇數時，，當是偶數時，
2．分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
，
u0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義
3．實數指數冪的運算性質
（1） ·；
（2）；
（3）．
（二）指數函數及其性質
1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R．
注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．
2、指數函數的圖象和性質
a>1 0<1 定義域 R 定義域 R 值域y＞0 值域y＞0 在R上單調遞增在R上單調遞減非奇非偶函數非奇非偶函數函數圖象都過定點（0，1）函數圖象都過定點（0，1）注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，則；取遍所有正數當且僅當；
（3）對于指數函數，總有；
二、對數函數
（一）對數
1．對數的概念：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作：（ — 底數， — 真數， — 對數式）
說明：1 注意底數的限制，且；
2 ；3 注意對數的書寫格式．
兩個重要對數：
1 常用對數：以10為底的對數；
2 自然對數：以無理數為底的對數的對數．
u指數式與對數式的互化
冪值真數
＝ N ＝ b

底數
指數對數
（二）對數的運算性質
如果，且，，，那么：
1 · ＋；
2 －；
3．
注意：換底公式
（，且；，且；）．
利用換底公式推導下面的結論
（1）；（2）．
（二）對數函數
1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．
注意：1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．
2 對數函數對底數的限制：，且．
2、對數函數的性質：
a>1 0<1 定義域x＞0 定義域x＞0 值域為R 值域為R 在R上遞增在R上遞減函數圖象都過定點（1，0）函數圖象都過定點（1，0）（三）冪函數
1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為常數．
2、冪函數性質歸納．
（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；
（2）時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數．特別地，當時，冪函數的圖象下凸；當時，冪函數的圖象上凸；
（3）時，冪函數的圖象在區間上是減函數．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．
例題：
1. 已知a>0，a0，函數y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是()
2.計算： ①;② =； =;
③=
3.函數y=log(2x2-3x+1)的遞減區間為
4.若函數在區間上的最大值是最小值的3倍，則a=
5.已知，（1）求的定義域（2）求使的的取值范圍
第三章函數的應用
一、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。
2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。
即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點．
3、函數零點的求法：
1 （代數法）求方程的實數根；
2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．
4、二次函數的零點：
二次函數．
（1）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．
（2）△＝０，方程有兩相等實根，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．
（3）△＜０，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點．
5.函數的模型
檢驗收集數據畫散點圖選擇函數模型求函數模型用函數模型解釋實際問題符合實際
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高一數學必修《一》的知識點？人教板的必修1數學:第一章:集合與函數概念
第二章:基本初等函數
第三章:函數的應用
如果你是人教板的 ,一學期要學2本數學的,可能另一本是必修4
高一數學必修一的知識集合，函數包括一次，二次，指數函數，冪函數，對數函數。的單調性，奇偶性《人教B版》的
高一數學必修一知識點有哪些？高一數學必修一知識點：集合的含義與表示。集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。集合中元素的三個特性，元素的確定性，元素的互異性，元素的無序性。集合的表示為{…}，集合的表示方法，列舉法與描述法等等。
集合的含義與表示
集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。
把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。
集合中元素的三個特性：
1、元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。
2、元素的互異性：一個給定集合中的元素是不可重復的。
3、元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合。
集合的分類
1、有限集：含有有限個元素的集合。
2、無限集：含有無限個元素的集合。
3、空集：不含任何元素的集合。
元素與集合的關系
1、元素在集合里，則元素屬于集合。
2、元素不在集合里，則元素不屬于集合。
函數的概念
設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A---B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A 。
其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域。與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域。
函數的三要素：定義域、值域、對應法則。
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