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數學期望是什么 數學期望的定義

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數學期望是什么
離散型
離散型隨機變量的一切可能的取值xi與對應的概率Pi(=xi)之積的和稱為該離散型隨機變量的數學期望（設級數絕對收斂）,記為E（x）.隨機變量最基本的數學特征之一.它反映隨機變量平均取值的大小.又稱期望或均值.如果隨機變量只取得有限個值,稱之為離散型隨機變量的數學期望.它是簡單算術平均的一種推廣,類似加權平均.例如某城市有10萬個家庭,沒有孩子的家庭有1000個,有一個孩子的家庭有9萬個,有兩個孩子的家庭有6000個,有3個孩子的家庭有3000個,則此城市中任一個家庭中孩子的數目是一個隨機變量,記為X,它可取值0,1,2,3,其中取0的概率為0.01,取1的概率為0.9,取2的概率為0.06,取3的概率為0.03,它的數學期望為0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11,即此城市一個家庭平均有小孩1.11個,用數學式子表示為：E(X)=1.11.
連續型
若隨機變量X的分布函數F(x)可表示成一個非負可積函數f(x)的積分,則稱X為連續性隨機變量,f(x)稱為X的概率密度函數（分布密度函數）.能按一定次序一一列出,其值域為一個或若干個有限或無限區間,這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量.離散型隨機變量與連續型隨機變量也是由隨機變量取值范圍（或說成取值的形式）確定,變量取值只能取離散型的自然數,就是離散型隨機變量,比如,一次擲20個硬幣,k個硬幣正面朝上,k是隨機變量,k的取值只能是自然數0,1,2,…,20,而不能取小數3.5、無理數√20,因而k是離散型隨機變量.如果變量可以在某個區間內取任一實數,即變量的取值可以是連續的,這隨機變量就稱為連續型隨機變量,
隨機變量的數學期望值
在概率論 數學期望
和統計學中,一個離散性隨機變量的期望值（或數學期望、或均值,亦簡稱期望）是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和.換句話說,期望值是隨機試驗在同樣的機會下重復多次的結果計算出的等同“期望”的平均值.需要注意的是,期望值并不一定等同于常識中的“期望”——“期望值”也許與每一個結果都不相等.（換句話說,期望值是該變量輸出值的平均數.期望值并不一定包含于變量的輸出值集合里.）
單獨數據的數學期望值
對于數學期望的定義是這樣的.數學期望 E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn為這幾個數據,p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)為這幾個數據的概率函數.在隨機出現的幾個數據中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函數就理解為數據X1,X2,X3,……,Xn出現的頻率f(Xi).則：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn) 很 北京大學數學教學系列叢書
容易證明E(X)對于這幾個數據來說就是他們的算術平均值.我們舉個例子,比如說有這么幾個數：1,1,2,5,2,6,5,8,9,4,8,1 1出現的次數為3次,占所有數據出現次數的3/12,這個3/12就是1所對應的頻率.同理,可以計算出f(2) = 2/12,f(5) = 2/12 ,f(6) = 1/12 ,f(8) = 2/12 ,f(9) = 1/12 ,f(4) = 1/12 根據數學期望的定義：E(X) = 1*f(1) + 2*f(2) + 5*f(5) + 6*f(6) + 8*f(8) + 9*f(9) + 4*f(4) = 13/3 所以 E(X) = 13/3,現在算這些數的算術平均值：Xa = (1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1)/12 = 13/3 所以E(X) = Xa = 13/3
怎樣理解數學期望？
1.什么是數學期望？
數學期望亦稱期望、期望值等 。在概率論和統計學中 ， 一個離散型隨機變量的期望值是試驗中每一次可能出現的結果的概率乘以其結果的總和 。
這是什么意思呢？假如我們來玩一個游戲 ， 一共52張牌 ， 其中有4個A 。我們1元錢賭一把 ， 如果你抽中了A ， 那么我給你10元錢 ， 否則你的1元錢就輸給我了 。在這個游戲中 ， 抽中的概率是113(452)113(452) ， 結果是贏10元錢；抽不中概率是12131213 ， 結果是虧1元錢 。那么你贏的概率 ， 也就是期望值是?213?213 。這樣 ， 你玩了很多把之后 ， 一算賬 ， 發現平均每把會虧?213 ?213元 。一般在競賽中 ， 若X是一個離散型的隨機變量 ， 可能值為x1,x2x1,x2…… ， 對應概率為p1,p2p1,p2…… ， 概率和為1 ， 那么期望值E(X)=∑ipixiE(X)=∑ipix
對于數學期望 ， 我們還應該明確一些知識點：
（1）期望的“線性”性質 。對于所有滿足條件的離散型的隨機變量X ， Y和常量a ， b ， 有：E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)；類似的 ， 我們還有E(XY)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)+E(Y) 。
（2）全概率公式 假設{Bn∣n=1,2,3,...Bn∣n=1,2,3,...}是一個“概率空間有限或可數無限”的分割 ， 且集合BnBn是一個“可數集合” ， 則對于任意事件A有：
P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)
（3）全期望公式 E(Y)=E(E(Y∣X))=∑iP(X=xi)E(Y∣X=xi)
2.方差(variance)：方差是衡量在期望μ=E(X)μ=E(X)(均值)附近震蕩程度的量可用下式計算
Var(X)=E(X?μ)2
Var(X)=E(X?μ)2
一個等價的公式是：
Var(X)=E(X2)?E2(X)
Var(X)=E(X2)?E2(X)
方差的性質:
(1) Var(X)≥0Var(X)≥0,Var(c)=0Var(c)=0,指常數沒有震蕩 。
(2) Var(cX)=c2Var(X)Var(cX)=c2Var(X) 此公式提供了改善震蕩的一個方法那就是將隨機變量取值進行伸縮 。
(3) Var(X+c)=Var(X)Var(X+c)=Var(X),對所有隨進變量取值進行平移不改變震蕩程度 。
(4) 獨立的隨機變量之和的方差等于方差的和(Remark:均值的這個性質不要求隨機變量獨立)
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
Proof:
Var(X+Y)=E(X2+Y2+2XY)?E2(X)?E2(Y)?2E(X)E(Y)
Var(X+Y)=E(X2+Y2+2XY)?E2(X)?E2(Y)?2E(X)E(Y)
因為X,YX,Y互相獨立
E(XY)=E(X)E(Y)
E(XY)=E(X)E(Y)
代入上式便得
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
從證明過程看獨立條件必不可少 。由于方差是由期望定義的 ， 所以方差的一切性質可由期望導出 ， 可見期望的概念要比方差重要 。

什么是數學期望？如何計算？數學期望是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和 。
計算公式：
1、離散型：
離散型隨機變量X的取值為X1、X2、X3……Xn ， p(X1)、p(X2)、p(X3)……p(Xn)、為X對應取值的概率 ， 可理解為數據X1、X2、X3……Xn出現的頻率高f(Xi) ， 則：
2、連續型：
設連續性隨機變量X的概率密度函數為f(x) ， 若積分絕對收斂 ， 則稱積分的值
為隨機變量的數學期望 ， 記為E(X) 。即
擴展資料
例題：
在10件產品中 ， 有3件一等品 ， 4件二等品 ， 3件三等品 。從這10件產品中任取3件,求：
（1）取出的3件產品中一等品件數x的分布列和數學期望；
（2）取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率 。
解：
x的數學期望E(x)=0*7/24+1*21/40+2*7/40+3*1/120=9/10
參考資料來源：百度百科-數學期望
什么叫數學期望？數學期望是概率論早期發展中就已產生的一個概念 。當時研究的概率問題大多與賭博有關 。假如某人在一局賭博中面臨如下的情況：在總共m＋n種等可能出現的結果中,有m種結果可贏得α,其余n種結果可贏得b), 則就是他在該局賭博中所能期望的收入 。數學期望的這種初始形式早在1657年即由荷蘭數學家C.惠更斯明確提出 。它是簡單算術平均的一種推廣 。設x為離散型隨機變量 ， 它取值x0 ， x1,…的概率分別為p1,p2,…,則當級數時 ， 定義它的期望為 。這里之所以要求級數絕對收斂 ， 是因為作為期望的這種平均 ， 不應當依賴于求和的次序 。若x 為連續型隨機變量 ， 其密度函數為p（x） ， 則當積分時,定義它的期望為 。在一般場合 ， 設x是概率空間(Ω,F,p)上的隨機變量 ， 其分布函數為F(x),則當時,定義x的期望為式中是斯蒂爾杰斯積分;或是隨機變量x 在Ω上對概率測度p的積分 。然而,并非所有的隨機變量都具有期望 。隨機變量的期望,有下列性質:E(x＋Y)=Ex＋EY；若把常數α看作隨機變量,則Eα=α；若x≥0,則Ex≥0;若x與Y獨立,則E(XY)＝Ex·EY;若隨機變量x1,x2,…,xn有聯合分布函數F(x1,x2,…,xn),則對一類n元函數?0?6(x1,x2,…,xn)（稱為可積的n元波萊爾可測函數 ， 它包括所有可積的初等函數和連續函數） ， 有若Z＝x＋iY為復隨機變量,則定義其數學期望為EZ=Ex＋iEY 。上述數學期望的概念也可推廣至隨機向量的情形 。一個隨機向量的數學期望(EX定義為以其各分量xj的數學期望為分量的向量 ， 即 ， 也稱為X的均值向量 。它也具有一般期望所具有的類似性質 。
數學期望是什么 什么是數學期望1、數學期望（mean）是最基本的數學特征之一 ， 運用于概率論和統計學中 ， 它是每個可能結果的概率乘以其結果的總和 。它反映了隨機變量的平均值 。
2、需要注意的是 ， 期望并不一定等同于常識中的“期望”——“期望”未必等于每一個結果 。期望值是變量輸出值的平均值 。期望不一定包含在變量的輸出值集合中 。
3、大數定律規定 ， 當重復次數接近無窮大時 ， 數值的算術平均值幾乎肯定會收斂到期望值 。
“數學期望”指的是什么？數學期望是一種重要的數字特征 ， 它反映隨機變量平均取值的大小 ， 是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和 。這里的“期望”一詞來源于賭博 ， 大概意思是當下注時 ， 期望贏得多少錢 。
以大數據眼光看問題體現了數學期望中的大量試驗出規律 ， 不能光看眼前或特例 ， 對一種現象不能過早下結論 ， 要多聽、多看從而獲得拿個隱藏在背后的規律；
以大概率眼看光問題對應數學期望中的概率加權 ， 大概率對應的取值對最后之結果影響大 ， 所以當有了一個目標 ， 為了實現它 ， 就要找一條實現起來概率最大的路徑 。
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應用：
1）隨機炒股
隨機炒股也就是閉著眼睛在股市中挑一只股票 ， 并且假設止損和止盈線都為10% ， 因為是隨機選股 ， 那么勝率=敗率 ， 由于印花稅、傭金和手續費的存在 ， 勝率=敗率<50% ， 最后的數學期望一定為負 ， 可見隨機炒股 ， 長期的后果 ， 必輸無疑 。
2）趨勢炒股
趨勢炒股是建立在慣性理論上的 ， 勝率跟經驗有很大關系 ， 基本上平均勝率可以假定為60% ， 則敗率為40% ， 一般趨勢投資者本著賺點就跑 ， 虧了套死不賣的原則 ， 如漲10%止盈 ， 跌50%止損 ， 數學期望為EP=60%*10%-40%*50%=-0.14 ， 必輸無疑 。
只有止損線<15%時 ， 趨勢投資才有可能贏 。但是止損線過低 ， 就會形成頻繁交易 ， 一方面交易成本增加 ， 另一方面交易者的判斷力下降 ， 也就是勝率必然下降 ， 那么最終的下場好不到哪去 。
【數學期望是什么 數學期望的定義】3）價值投資
由于價值低估買 ， 所以勝率比較高 ， 且價值投資都預留安全邊際 ， 也就是向上的空間巨大 ， 而下跌空間有限 ， 所以數學期望值一定為正 。
參考資料來源：百度百科-數學期望
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