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論函數的奇偶性 奇函數加奇函數是什么函數

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函數是中學數學教學的重要內容，因其比較抽象，我們學習中會更加吃力，尤其是函數的奇偶性，我們要在理解概念的基礎上，適當掌握一定的解題方法，能系統總結出知識要點，以達事半功倍的效果！

論函數的奇偶性 奇函數加奇函數是什么函數

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函數的奇偶性學習中，以判斷函數奇偶性的方法為重點，當然常用的結論也要記好 。
[知識點](一)基本概念
論函數的奇偶性 奇函數加奇函數是什么函數

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函數的奇偶性的判斷要遵循以函數的定義域為優先原則來考慮，函數有奇偶性，首先必須要求定義域是關于原點對稱的！
其次，要權量f(-x)與f(ⅹ)的大小關系:
①f(ⅹ)為偶函數<=>f(x)－f(-x)=0恒成立<=>f(x)/f(-ⅹ)=1恒成立;
②f(ⅹ)為奇函數<=>f(x)+f(-x)=0恒成立<=>f(x)/f(-x)=-1恒成立 。
論函數的奇偶性 奇函數加奇函數是什么函數

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[知識點](二)常用結論
①如果一個奇函數在x=0處有定義，則f(0)=0;如果一個函數既是奇函數又是偶函數，那這個函數為f(x)=0 。②二次函數y=ax^2十bx+c(a≠0)為偶函數的充要條件是b=0 。③若f(ⅹ)為偶函數，則f(ⅹ)=f(|ⅹ|) 。④奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱 。反之亦然，即圖象關于原點對稱的函數一定是奇函數，圖象關于y軸對稱的函數一定是偶函數 。⑤復合函數F(x)=f(g(x))的奇偶性的判斷由f(x)和g(ⅹ)兩部分來確定，一般地，若內層函數g(x)為偶函數，則F(ⅹ)為偶函數;若內層函數g(ⅹ)為奇函數，則F(x)與外層函數f(ⅹ)的奇偶性一致 。下面，我們通過幾個例子來熟悉一下函數的奇偶性的常見題型:
題型一、判斷函數的奇偶性例1.判斷函數f(x)=xlg(ⅹ+√(ⅹ^2+1)的奇偶性 。
解析:先看定義域是否關于原點對稱！
因為√(x^2+1)>|x|，故x+√(x^2+1)>0，即f(ⅹ)的定義域為R，當然關于原點對稱;
再計算f(-x)的值:因為
(√(ⅹ^2+1)+x)(√(x^2+1)-x)=ⅹ^2+1-ⅹ^2=1，即√(ⅹ^2+1)+x與√(ⅹ^2+1)-ⅹ互為倒數 。故有f(-x)=-xlg[-ⅹ+√(ⅹ^2+1)]
=-xlg[ⅹ+√(ⅹ^2+1)]^(-1)
=xlg(x+√(x^2+1))=f(x)，
即f(ⅹ)-f(-x)=0，
所以函數f(ⅹ)為偶函數 。
題型二、利用函數的奇偶性來求函數值 。例2.[2017·全國卷2] 已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x∈(-∞，0)時，有f(x)=2x^3+x^2，則f(2)=______ 。
[分析]這道題就要借助奇函數的性質一一圖象關于原點對稱，即f(x)=-f(-x)，因要求的x=2不在(-∞，0)內，無法用解析式2x^3+ⅹ^2來求f(2)的值，但我們可求出f(-2)的值，利用f(2)=-f(-2)來解！
[解]f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)^3+(-2)^2]=12 。
題型三、利用函數的奇偶性來求函數的解析式 。例3、已知f(x)是定義在R上的偶函數，當x∈(-∞，0]時，有f(ⅹ)=x^2+2x 。求函數f(x)在R上的解析式 。
[解析]因x≤0時，解析式為f(x)=x^2+2x 。我們只要求出x>0時f(x)的解析式就可以啦！利用偶函數的性質一一f(ⅹ)=f(-x)來解題 。
解:令x>0時，則-ⅹ<0，所以，
f(-x)=(-x)^2－2x=x^2－2ⅹ，
又因f(x)為R上的偶函數，有f(-ⅹ)=f(ⅹ)，
故f(x)=ⅹ^2－2x (ⅹ>0) 。
因此，f(x)在R上的解析式為:
當x>0時，f(ⅹ)=ⅹ^2－2ⅹ;
當x≤0時，f(ⅹ)=ⅹ^2+2ⅹ 。
論函數的奇偶性 奇函數加奇函數是什么函數

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今天就題型三，我們重點練習一下，看下列試題一一
1)已知定義在R上的奇函數f(x)，當ⅹ∈(0，1)時，有f(x)=2^x/(4^x+1)，求f(x)在(-1，0)上的解析式 。
2)已知奇函數f(x)，偶函數g(x)，它們公共定義域為{ⅹ丨x∈R且x≠±2}，且f(x)+g(x)=x/(ⅹ－2)，求g(ⅹ)和f(x)的解析式 。
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