什么是多項式什么是多項式的系數 _知識經驗

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大家好,小跳來為大家解答以上的問題。什么是多項式的系數，什么是多項式這個很多人還不知道,現在讓我們一起來看看吧！
1、3次多項式的因式分解方法主要還是先觀察出它的一個根來,然后判定它含有哪個一次因子,分解后就變為二次的了.下面的內容系統地介紹了因式分解的方法.1.因式分解即和差化積，其最后結果要分解到不能再分為止。
2、而且可以肯定一個多項式要能分解因式，則結果唯一，因為：數域F上的次數大于零的多項式f(x),如果不計零次因式的差異，那么f(x)可以唯一的分解為以下形式： f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次項的系數，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可約多項式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。
3、（*）或叫做多項式f(x)的典型分解式。
4、證明：可參見《高代》P52-53 初等數學中，把多項式的分解叫因式分解，其一般步驟為：一提二套三分組等要求為：要分到不能再分為止。
5、 2.方法介紹 2.1提公因式法：如果多項式各項都有公共因式，則可先考慮把公因式提出來，進行因式分解，注意要每項都必須有公因式。
6、例15x3+10x2+5x 解析顯然每項均含有公因式5x故可考慮提取公因式5x ，接下來剩下x2+2x+1仍可繼續分解。
7、解：原式=5x(x2+2x+1) =5x(x+1)2 2.2公式法即多項式如果滿足特殊公式的結構特征，即可采用套公式法，進行多項式的因式分解，故對于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，數學競賽中常出現的一些基本公式現整理歸納如下： a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n為奇數) 說明由因式定理，即對一元多項式f(x)，若f(b)=0 ，則一定含有一次因式x-b 。
8、可判斷當n為偶數時，當a=b,a=-b時，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。
9、例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15 解析各小題均可套用公式解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6) =(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) ②1+x+x2+…+x15= =(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) 注多項式分解時，先構造公式再分解。
10、 2.3分組分解法當多項式的項數較多時，可將多項式進行合理分組，達到順利分解的目的。
11、當然可能要綜合其他分法，且分組方法也不一定唯一。
12、例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6++1) =(m3+1)[(m6+1)2-m6] =(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3) 例2分解因式：x4+5x3+15x-9 解析可根據系數特征進行分組解原式=（x4-9）+5x3+15x =(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3) =(x2+3)(x2+5x-3) 2.4十字相乘法對于形如ax2+bx+c結構特征的二次三項式可以考慮用十字相乘法, 即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)當x2項系數不為1時，同樣也可用十字相乘進行操作。
13、例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12 解①1x2 1x-3 原式=（x+2）(x-3) ②2x-3 3x4 原式=（2x-3）(3x+4) 注：“ax4+bx2+c”型也可考慮此種方法。
14、 2.5雙十字相乘法在分解二次三項式時，十字相乘法是常用的基本方法，對于比較復雜的多項式，尤其是某些二次六項式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以運用十字相乘法分解因式，其具體步驟為：（1）用十字相乘法分解由前三次組成的二次三項式，得到一個十字相乘圖（2）把常數項分解成兩個因式填在第二個十字的右邊且使這兩個因式在第二個十字中交叉之積的和等于原式中含y的一次項，同時還必須與第一個十字中左端的兩個因式交叉之積的和等于原式中含x的一次項例5分解因式 ①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2 ③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2 解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3) 2x-3y1 2xy-3 ②原式=（x-5y+2）(x+2y-1) x-5y2 x2y-1 ③原式=(b+1)(a+b-2) 0ab1 ab-2 ④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z) 2x-3yz 3x-y-2z 說明：③式補上oa2,可用雙十字相乘法，當然此題也可用分組分解法。
15、如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2) ④式三個字母滿足二次六項式，把-2z2看作常數分解即可： 2.6拆法、添項法對于一些多項式，如果不能直接因式分解時，可以將其中的某項拆成二項之差或之和。
16、再應用分組法，公式法等進行分解因式，其中拆項、添項方法不是唯一，可解有許多不同途徑，對題目一定要具體分析，選擇簡捷的分解方法。
17、例6分解因式：x3+3x2-4 解析法一：可將-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3) 法二：添x4,再減x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4) 法三：添4x,再減4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4) 法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4) 法五：把x3拆為，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等解（選擇法四）原式=x3-x2+4x2-4 =x2(x-1)+4(x-1)(x+1) =(x-1)(x2+4x+4) =(x-1)(x+2)2 2．7換元法換元法就是引入新的字母變量，將原式中的字母變量換掉化簡式子。
18、運用此種方法對于某些特殊的多項式因式分解可以起到簡化的效果。
19、例7分解因式： (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120 解析若將此展開，將十分繁瑣，但我們注意到 (x+1)(x+4)=x2+5x+4 (x+2)(x+3)=x2+5x+6 故可用換元法分解此題解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120 令y=x2+5x+5則原式=(y-1)(y+1)-120 =y2-121 =(y+11)(y-11) =(x2+5x+16)(x2+5x-6) =(x+6)(x-1)(x2+5x+16) 注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y請認真比較體會哪種換法更簡單？ 2．8待定系數法待定系數法是解決代數式恒等變形中的重要方法,如果能確定代數式變形后的字母框架,只是字母的系數高不能確定,則可先用未知數表示字母系數,然后根據多項式的恒等性質列出n個含有特殊確定系數的方程(組) ，解出這個方程(組)求出待定系數。
20、待定系數法應用廣泛,在此只研究它的因式分解中的一些應用。
21、例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20 分析屬于二次六項式，也可考慮用雙十字相乘法，在此我們用待定系數法先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b) 解設可設原式=(2a-3b+m)(a+3b+n) =2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn…………… 比較兩個多項式（即原式與*式）的系數 m+2n=14(1)m=4 3m-3n=-3(2)=> mn=20(3)n=5 ∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5) 注對于（*）式因為對a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n 令a=1,b=0,m+2n=14m=4 => 令a=0,b=1,m=n=-1n=5 2.9因式定理、綜合除法分解因式對于整系數一元多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 由因式定理可先判斷它是否含有一次因式(x-)（其中p ， q互質）， p為首項系數an的約數， q為末項系數a0的約數若f（）=0,則一定會有（x-）再用綜合除法，將多項式分解例8分解因式x3-4x2+6x-4 解這是一個整系數一元多項式，因為4的正約數為2、4 ∴可能出現的因式為x±1,x±2,x±4, ∵f(1)≠0,f(1)≠0 但f(2)=0,故(x-2)是這個多項式的因式，再用綜合除法 21-46-4 2-44 1-220 所以原式=(x-2)(x2-2x+2) 當然此題也可拆項分解，如x3-4x2+4x+2x-4 =x(x-2)2+(x-2) =(x-2)(x2-2x+2) 分解因式的方法是多樣的，且其方法之間相互聯系，一道題很可能要同時運用多種方法才可能完成，故在知曉這些方法之后，一定要注意各種方法靈活運用，牢固掌握! 。
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