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根號5是無理數嗎

生活百科根號


根號5是無理數嗎

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根號5是無理數 ， 常用的有2種方法來計算：（1）級數法 。利用根號下(1+x)的泰勒展開式 。（2）迭代算法 。利用迭代公式：x0=a/2，x(n+1)=(xn+a/xn)/2 。
證明過程1、設根號下5不是無理數而是有理數，則設根號下5=p/q(p，q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1) 。
2、兩邊平方，5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*) 。
3、p^2含有因數5，設p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2,q^2=5m^2，q^2含有因數5 ， 即q有因數5 。
4、這樣p,q有公因數5，這與假設p,q最大公約數為1矛盾 。
5、根號下5=p/q(p ， q是正整數，且互為質數，即最大公約數是1)不成立，
【根號5是無理數嗎】所以，根號下5不是有理數而是無理數 。