勾股定理證明勾股定理證明方法16種圖片 _知識經驗

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大家好,小豆豆來為大家解答以上的問題。勾股定理證明方法16種圖片，勾股定理證明這個很多人還不知道,現在讓我們一起來看看吧！
1、歐幾里得證法：在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。
2、設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。
3、從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。
4、延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等。
5、在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。
6、（SAS）2、三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
7、3、任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積。
8、4、任意一個矩形的面積等于其二邊長的乘積（據輔助定理3）。
9、證明的思路為：從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊。
10、延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關系，轉換成下方兩個同等面積的長方形。
11、設△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB 。
12、其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH 。
13、畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L 。
14、分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA 。
15、∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。
16、∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC 。
17、因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC 。
18、因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD 。
19、因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC 。
20、因此四邊形BDLK=BAGF=AB2 。
21、同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC2 。
22、把這兩個結果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由于CBDE是個正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2 。
23、擴展資料：勾股定理意義：勾股定理的證明是論證幾何的發端。
24、2、勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯系起來的定理。
25、3、勾股定理導致了無理數的發現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解。
26、4、勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理。
27、5、勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，并有巨大的實用價值．這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用。
28、6、1971年5月15日，尼加拉瓜發行了一套題為“改變世界面貌的十個數學公式”郵票，這十個數學公式由著名數學家選出的，勾股定理是其中之首。
29、勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。
30、中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。
31、勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。
32、勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。
33、在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。
34、在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和教學目標1.了解勾股定理的證明，掌握勾股定理的內容，初步會用它進行有關的計算、作圖和證明.2.通過勾股定理的應用，培養方程的思想和邏輯推理能力.3.對比介紹我國古代和西方數學家關于勾股定理的研究，對學生進行愛國主義教育.教學重點與難點重點是勾股定理的應用;難點是勾股定理的證明及應用.教學過程設計一、激發興趣引入課題通過介紹我國數學家華羅庚的建議--向宇宙發射勾股定理的圖形與外星人聯系，并說明勾股定理是我國古代數學家于2000年前就發現了的，激發學生對勾股定理的興趣和自豪感，引入課題.二、勾股定理的探索，證明過程及命名1.猜想結論.勾股定理敘述的內容是什么呢?請同學們也體驗一下數學家發現新知識的樂趣.教師用計算機演示:(1)在△ABC中，∠A，∠B ， ∠C所對邊分別為a ， b和c，∠ACB=90°，使△ABC運動起來，但始終保持∠ACB=90° ，如拖動A點或B點改變a,b的長度來拖動AB邊繞任一點旋轉△ACB等.(2)在以上過程中，始終測算a2，b2，c2 ，各取以上典型運動的某一兩個狀態的測算值(約7~8個)列成表格，讓學生觀察三個數之間有何數量關系，得出猜想.(3)對比顯示銳角三角形、鈍角三角形的三邊的平方不存在這種關系，因此它是直角三角形所特有的性質.讓學生用語言來敘述他的猜想，畫圖及寫出已知、求證.2.證明猜想.目前世界上可以查到的證明勾股定理的方法有幾百種，連美國第20屆總統加菲爾德于1881年也提供了一面積證法(見課本第109頁圖(4))，而我國古代數學家利用割補、拼接圖形計算面積的思路提供了很多種證明方法，下面咱們采納其中一種(教師制作教具演示，見如圖3-151)來進行證明.3.勾股定理的命名.我國稱這個結論為“勾股定理” ，西方稱它為“畢達哥拉斯定理” ，為什么呢?(1)介紹《周髀算經》中對勾股定理的記載;(2)介紹西方畢達哥拉斯于公元前582~493時期發現了勾股定理;(3)對比以上事實對學生進行愛國主義教育，激勵他們奮發向上.三、勾股定理的應用1.已知直角三角形任兩邊求第三邊.例1在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A ， ∠B，∠C所對邊分別為a，b，c.(1)a=6 ， b=8求c及斜邊上的高;(2)a=40，c=41,求b;(3)b=15，=25求a;(4)a:b=3:4,c=15,求b.說明:對于(1)，讓學生總結基本圖形(圖3-153)中利用面積求斜邊上高的基本方法;對于(4)，引導學生利用方程的思想來解決問題.教師板書(1)，(4)的規范過程，讓學生練習(2)，(3).例2求圖3-152所示(單位mm)矩形零件上兩孔中心A和B的距離(精確到).教師就如何根據圖紙上尺寸尋找直角三角形ABC中的已知條件，出示投影.練習1投影顯示:(1)在等腰Rt△ABC中，∠C=90° ， AC:BC:AB=__________;(2)如圖3-153∠ACB=90°，∠A=30°，則BC:AC:AB=___________;若AB=8,則AC=_____________;又若CD⊥AB，則CD=______________.(3)等邊出△ABC的邊長為a，則高AD=__________，S△ABC=______________說明:(1)學會利用方程的思想來解決問題.(2)通過此題讓學生總結并熟悉幾個基本圖形中的常用結論:①等腰直角三角形三邊比為1:1:;②含30°角的直角三角形三邊之比為1::2;③邊長為a的等邊三角形的高為a，面積為(板書)例3如圖3-154，AB=AC=20，BC=32，△DAC=90°.求BD的長.分析:(1)分解基本圖形，圖中有等腰△ABC和Rt△ADC;(2)添輔助線--等腰△ABC底邊上的高AE，同時它也是Rt△ADC斜邊上的高;(3)設BD為X.利用圖3-153中的基本關系，通過列方程來解決.教師板書詳細過程.解作AE⊥BC于E.設BD為x,則DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2，將上式代入，得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2=DC2+EC2-DE2.∴2×202=(32-x)2+162-(16-x)2,解得x=7.2.利用勾股定理作圖.例4作長為的線段.說明:按課本第101頁分析作圖即可，強調構造直角三角形的方法以及自己規定單位長.3.利用勾股定理證明.例5如圖3-155，△ABC中， CD⊥AB于D，AC>BC.求證:AC2-BC2=AD2-BD2=AB(AD-BD).分析:(1)分解出直角三角形使用勾股定理.Rt△ACD中， AC2=AD2+CD2;Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2.(2)利用代數中的恒等變形技巧進行整理:AC2-BC2=(AD2+CD2)-(CD2+BD2)=AD2-BD2=(AD+BD)(AD-BD)=AB(AD-BD).例6已知:如圖3-156 ， Rt△ABC,∠ACB=90°,D為BC中點，DE⊥AB于E，求證:AC2=AE2-BE2.分析:添加輔助線---連結AD，構造出兩個新直角三角形，選擇與結論有關的勾股定理和表達式進行證明.4.供選用例題.(1)如圖3-157，在Rt△ABC中,∠C=90°，∠A=15° ， BC=1.求△ABC的面積.提示:添加輔助線--BA的中垂線DE交BA于D，交AC于E，連結BE，構造出含30°角的直角三角形BCE，同時利用勾股定理解決，或直接在∠ABC內作∠ABE=15° ，交CA邊于E.(2)如圖3-158，△ABC中， ∠A=45°，∠B=30°，BC=8.求AC邊的長.分析:添加輔助線--作CD⊥AB于D ，構造含45°，30°角的直角三角形列方程解決問題.(3)如圖3-159(a)，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，AD=1 ， BC=2，求AB，CD.提示:添加輔助線--延長BA ， CD交于E ，構造30°角的Rt△EAD,Rt△EBC.利用它們的性質來解決問題(見圖3-159(b)).或將四邊形ABCD分割成含30°的直角三解形及矩形來解決問題.(見圖3-159(c))答案:AB=23-2，CD=4-3.(4)已知:3-160(a),矩形ABCD.(四個角是直角)①P為矩形內一點，求證PA2+PC2=PB2+PD2②探索P運動到AD邊上(圖3-160(b))、矩形ABCD外(圖3-160(C))時，結論是否仍然成立.分析:(1)添加輔助線--過P作EF⊥BC交AD干E ，交BC于F.在四個直角三角形中分別使用勾股定理.(2)可將三個題歸納成一個命題如下:矩形所在平面上任一點到不相鄰頂點的距離的平方和相等.四、師生共同回憶小結1.勾股定理的內容及證明方法.2.勾股定理的作用:它能把三角形的形的特征(一角為90°)轉化為數量關系，即三邊滿足a2+b2=c2.3.利用勾股定理進行有關計算和證明時，要注意利用方程的思想求直角三角形有關線段長;利用添加輔助線的方法構造直角三角形使用勾股定理.五、作業1.課本第106頁第2~8題.2.閱讀課本第109頁的讀一讀:勾股定理的證明.課堂教學設計說明本教學設計需2課時完成.1.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，是直角三角形的一個重要性質.本教學設計利用計算機(幾何畫板軟件動態顯示)的優越條件，提供足夠充分的典型材料--形狀大小、位置發生變化的各種直角三角形，讓學生觀察分析，歸納概括，探索出直角三角形三邊之間的關系式，并通過與銳角、鈍角三角形的對比，強調直角三角形的這個特有性質，體現了啟發學生獨立分析問題、發現問題、總結規律的教學方法.2.各學校根據自己的教學條件還可以采納以下類比聯想的探索方式來引入新課.(1)復習三角形三邊的關系，總結出規律:較小兩邊的和大于第三邊.(2)引導學生類比聯想:較小兩邊的平方和與第三邊的平方有何大小關系呢?(3)舉出三個事例(見圖3-161(a)(b)(c)).對比發現銳角、鈍角三角形中兩較小邊的平方和分別大于或小于第三邊的平方，直角三角形中較小兩邊的平方和等于第三邊的平方.(4)用教具演示圖3-151，驗證對直角三角形所做的猜想.教學目的:會闡述勾股定理的逆定理2、會應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形3、能正確、靈活的應用勾股定理及勾股的逆定理教學重點:勾股定理逆定理的應用教學難點:勾股定理逆定理的證明教學方法:講練結合教學過程:一、復習提問勾股定理的文字語言2、勾股定理的幾何符號語言3、勾股定理的作用4、填空:已知一直角三角形的兩邊是5和12 ，則第三邊的長是。
35、二、導入新課勾股定理是一個命題，任何命題都有逆命題，它的逆命題是什么?三、講解新課勾股定理的逆定理的文字語言:如果三角形的三邊長:a、b、c有關系，a2+b2=c2 ，那么這個三角形是直角三角形。
36、命題有真假之分，它是否為真命題，首先必須證明。
37、已知:在ΔABC中，AB=c，BC=a，CA=b ，并且a2+b2=c2求證:∠C=90o分析:證明一個角為90o ，可以證AC⊥BC也可以利用書本上的方法證明，自學通過證明，勾股定理的逆命題是個真命題，即勾股定理的逆定理。
38、勾股定理的逆定理的幾何符號語言:在ΔABC中∵a2+b2=c2(或c2-a2=b2)∴∠C=90o(勾股定理的逆定理)強調:只要滿足上述關系，它必定是直角三角形，且較長的邊是斜邊，它所對的角是直角。
39、例如:三邊長分別為3、4、5，能否組成直角三角形，5、12、13呢?9、40、41呢?勾股數:能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數(或勾股弦數)書本102-103頁，劃出定義，完成作業103頁3例1ΔABC的三邊分別為下列各組值，能組成直角三角形的打“√”，并指出哪個是直角，否則打“×”⑴a=b=、c=1⑵a=1.2、b=1.6、c=2⑶a:b:c=2::2⑷a=n2-b=2n、c=n2+1(n＞1)⑸a=2n2+b=2n2+2n、c=2mn(m＞n)m、n為正整數解⑴∵12+12=()2∴ΔABC是以∠B為直角的三角形⑵∵22-=(2+1.6)(2-1.6)==(1.2)2∴ΔABC是以∠B為直角的三角形⑶⑷⑸解略。
40、強調:對于數字較大，可以利用平方差公式，達到簡便運算。
41、例2已知:如圖，AD=3 ， AB=4，∠BAD=90o，BC=12，CD=13 ，求四邊形ABCD的面積.分析:連結BD，求出BD=5，∵BD2+BC2=CD2∴∠CBD=90o∴四邊形ABCD的面積=ΔABD的面積+ΔBD的面積解:略例2已知:如圖，在ΔABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD2?BD求證:ΔABC是直角三角形分析:要證ΔABC是直角三角形只要證AC2+BC2=AB2在RtΔACD中，∵∠ACD=90o∴AC2=AD2+CD2同理可證，BC2=CD2+BD2∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=(AD+BD)2∴ΔABC是直角三角形請學生自己完成證明過程。
42、三、課堂小結勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，勾股定理為性質定理，他們互為逆定理2、勾股定理的逆定理的作用是用來判定一個三角形是否為直角三角形? 。
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