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圓的面積公式是什么:圓的面積公式為什么是πr2？推導過程是什么樣子的？

生活百科

首先我們從數學角度進行分析圓的面積公式是什么：

圓的面積公式是什么:圓的面積公式為什么是πr2？推導過程是什么樣子的？

文章插圖
圓等分成360份 ， 每一份1度圓心角對應的圓弧長為a=πr/180 ， 則半徑r與a所圍的面積近似于一個三角形的面積 ， 設高為h則h=√[1-(π/180)^2]*r一個三角形的面積=ah/2=(πr^2/2)*√[1-2π/180^2]*(1/180)360個全等三角形的面積之和為圓面積 ， s=360*(πr^2/2)*√[1-2π/180^2]*(1/180)=πr^2)*√[1-2π/180^2]2π/180^2近似等于0所以s=πr^2
這個公式作為公理是無任何問題的 。
下面我們再從歷史的角度進行分析：
用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率 。
\”圜 ， 一中同長也\” 。意思是說:圓只有一個中心 ， 圓周上每一點到中心的距離相等 。早在我國先秦時期 ， 《墨經》上就已經給出了圓的這個定義 ， 而公元前11世紀 ， 我國西周時期數學家商高也曾與周公討論過圓與方的關系 。認識了圓 ， 人們也就開始了有關于圓的種種計算 ， 特別是計算圓的面積 。我國古代數學經典《九章算術》在第一章\”方田\”章中寫到\”半周半徑相乘得積步\” ， 也就是我們現在所熟悉的公式 。
【圓的面積公式是什么:圓的面積公式為什么是πr2？推導過程是什么樣子的？】他認為 ， 圓內接正多邊形的面積與圓面積都有一個差 ， 用有限次數的分割、拼補 ， 是無法證明《九章算術》的圓面積公式的 。因此劉徽大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數學證明 。他從圓內接正六邊形開始割圓 ， \”割之彌細 ， 所失彌少 ， 割之又割 ， 以至不可割 ， 則與圓周合體 ， 而無所失矣 。\”也就是說將圓內接正多邊形的邊數不斷加倍 ， 則它們與圓面積的差就越來越小 ， 而當邊數不能再加的時候 ， 圓內接正多邊形的面積的極限就是圓面積 。劉徽考察了內接多邊形的面積 ， 也就是它的\”冪\” ， 同時提出了\”差冪\”的概念 。\”差冪\” 是后一次與前一次割圓的差值 ， 可以用圖中陰影部分三角形的面積來表示 。同時 ， 它與兩個小黃三角形的面積和相等 。劉徽指出 ， 在用圓內接正多邊形逼近圓面積的過程中 ， 圓半徑在正多邊形與圓之間有一段余徑 。以余徑乘正多邊形的邊長 ， 即2倍的\”差冪\” ， 加到這個正多邊形上 ， 其面積則大于圓面積 。這是圓面積的一個上界序列 。劉徽認為 ， 當圓內接正多邊形與圓是合體的極限狀態時 ， \”則表無余徑 。表無余徑 ， 則冪不外出矣 。\”就是說 ， 余徑消失了 ， 余徑的長方形也就不存在了 。因而 ， 圓面積的這個上界序列的極限也是圓面積 。于是內外兩側序列都趨向于同一數值 ， 即 ， 圓面積 。