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行測運算題的解題技巧 裝卸過橋問題解答方法

生活經驗經驗分享

十二對策分析類問題重難點講解
對策分析類問題在行測中屬于高難度的題型，不僅涉及知識面廣，且解題思路較為繁雜 。為了幫助考生解決這一難點，現將對策分析類問題按考查方向的不同，分為三類：數據分析、統籌問題、推理問題，逐一進行詳細講解 。

行測運算題的解題技巧 裝卸過橋問題解答方法

文章插圖

一、數據分析
數據分析類題目通常給出一些限制條件，在這個條件下數據分布有多種不同組合 。題目往往是求這些數據組合的極端情況，其本質是討論數據的離散性 。極值一般存在于離散性最差的那種情況 。
數據的離散性：(1)常數列(各項相等)離散性最差；(2)若各數不相同，公差為1的等差數列離散性最差 。
【例題1】
某單位2011年招聘了65名畢業生，擬分配到該單位的7個不同部門 。假設行政部門分得的畢業生人數比其他部門都多，問行政部門分得的畢業生人數至少為多少名?
A.10 B.11 C.12 D.13
解析：這道題我們之前見過吧？這次還是用這道例題
要使分得畢業生人數最多的行政部門人數最少，則其余部門人數盡可能多，即各部門人數盡量接近(可以相等) 。從人數最少的選項開始驗證，當行政部門有10人時，其余各部門共有65-10=55人，平均每部門人數超過9人，即至少有1個部門人數超過9人，與行政部門人數最多的題干條件不符 。若行政部門有11人，其余部門總人數為54人，每個部門可以是9人，滿足題意，選B 。
二、統籌問題
統籌問題研究的是怎樣安排使總用時最短，或總效率最高 。歷年考試中涉及的統籌問題可分為以下幾類：黑夜過橋問題、排隊問題、任務分配問題、物資集中問題、貨物裝卸問題 。
1.過橋問題
過橋問題一般是多個人或者多個動物需要過河，由于過河時間不同，需要進行合理的安排，使得最終過河時間最短 。這個問題有兩個原則：(1)盡量讓時間相近的兩個人一起過橋;(2)讓對岸過橋時間最短的人返回 。
【例題1】小明騎在牛背上過河，他共有甲、乙、丙、丁4頭牛，甲過河要20分鐘，乙過河要30分鐘，丙過河要40分鐘，丁過河要50分鐘 。小明每次只能趕2頭牛過河，要把4頭牛都趕到對岸去，最少要多少分鐘?
A.190 B.170 C.180 D.160
解析：甲乙先過河，甲返回，用時30+20=50分鐘 。丙丁過河，乙返回，用時50+30=80分鐘 。甲乙過河，用時30分鐘 。最少要50+80+30=160分鐘 。
想想看，結合我們的兩個基本原則，是不是還有別的方法也可以160分鐘完成 。
2.排隊問題
在這類問題中，通常有若干人排隊做某事，要求合理安排順序，使這幾個人排隊等候和完成事情的總時間最少 。
【例題2】A、B、C、D四人同時去某單位和總經理洽談業務，A談完要18分鐘，B談完要12分鐘，C談完要25分鐘，D談完要6分鐘 。如果使四人留在這個單位的時間總和最少，那么這個時間是多少分鐘?
A.91分鐘 B.108分鐘 C.111分鐘 D.121分鐘
解析：時間越短越靠前，因此談話順序為DBAC，停留時間為6×4+12×3+18×2+25=121分鐘 。
3.任務分配問題
在分配任務時要做到人盡其用，因此讓“相對效率”高的人去做他擅長的事才能確保整體效率是最高的 。這類問題有諸多變形，分配原則來自對該問題涉及的核心公式的分析 。
【例題3】一個產品生產線分為A、B、C三段，每個人每小時分別完成10、5、6件，現在總人數為71人，要使得完成的件數最多，問：71人的安排分別是( ) 。
A.14∶28∶29 B.15∶31∶25
C.16∶32∶23 D.17∶33∶21
解析：從命題分析來看，這是一個典型的工作安排問題，首先要明確工作的目標，其次要弄清任務安排的關鍵點 。
把三段任務看成是三個部件，那么三個部件自然要盡量接近為好，這樣才可以組裝更多的物品 。有效率比為10:5:6，故人數比應為3:6：5,3+6+5=14，再拿71我們來拆分一下，可以得到一個商5和一個余數1，所以分別為15人，30人，25人，余出來的1人，自由分配，符合的只有B 。
4.物資集中問題
這類問題通常是：在非閉合的路徑上(線形、樹形等，不包括環形)有多個“點”，每個點之間通過“路”來連通，每個“點”上有一定的“貨物”，要求合理安排把貨物集中到一個“點”上，使得所需的運費最少 ?；蛘哂幸欢ㄈ藬担蠛侠碓O置一個站點，使得各“點”上的人到站點所走的總路程最短 。
解決問題時，可通過以下方式判斷方向：路兩側物資總重量小的流向總重量大的(本法則只適用于非閉合路徑中，與各條路徑的長短無關) 。實際操作中，應從中間開始分析，這樣可以更快得到答案 。
5.貨物裝卸問題
如果有M輛車和N(N>M)個工廠，所需裝卸工的總數就是需要裝卸工人數最多的M個工廠所需的裝卸工人數之和 。(若M≥N，則跟車人數為0，把各個點上需要的人相加即為所需要的總人數)
【例題5】一個車隊有三輛汽車，擔負著五家工廠的運輸任務，這五家工廠分別需要7、9、4、10、6名裝卸工，共計36名;如果安排一部分裝卸工跟車裝卸，那么不需要那么多裝卸工，而只要在裝卸任務較多的工廠再安排一些裝卸工就能完成裝卸任務，則在這種情況下，總共至少需要多少名裝卸工才能保證各廠的裝卸要求?
A.26 B.27 C.28 D.29
解析：有3輛汽車，最多有3個工廠同時卸貨，即要保證滿足各廠裝卸要求只考慮需要人數最多的3個工廠同時卸貨需要的人數即可 。所以至少需要7+9+10=26名 。
三、推理問題
推理問題復雜多變，但都是從給定或隱含條件入手進行推理 。把題干給的每一個條件都理解清楚很重要，在每個條件都分析清楚仍不得要領的情況下，要著重分析問題背景隱含的條件 。
1.利用題干條件推理
大部分推理問題可根據題干條件直接推理，推理過程需要做簡單計算，合理運用代數工具可簡化推理過程 。
【例題1】一個正方體木塊放在桌子上，每一面都有一個數，位于對面兩個數的和都等于13，小張能看到頂面和兩個側面，看到的三個數和為18;小李能看到頂面和另外兩個側面，看到的三個數的和為24，那么貼著桌子的這一面的數是多少?
A.4 B.5 C.6 D.7
解析：小張與小李看到數字之和為：頂面數字的2倍+四個側面數字之和=18+24=42 。由于對面兩個數的和都等于13，四個側面數字之和為13×2=26 。則頂面數字為(42-26)÷2=8 。貼著桌子的底面數字為13-8=5，選B 。
2.利用隱含條件推理
在一些較難的推理問題中，線索隱含在題目背景中，找出這個切入點需要對問題背景比較熟悉 。
【例題2】小趙、小錢、小孫一起打羽毛球，每局兩人比賽，另一人休息 。三人約定每一局的輸方下一局休息 。結束時算了一下，小趙休息了2局，小錢共打了8局，小孫共打了5局 。則參加第9局比賽的是( ) 。
A.小趙和小錢 B.小趙和小孫
C.小錢和小孫 D.以上皆有可能
解析：從國士的命題分析來看，三人約定的游戲規則就是本題的推理規則，應該從理解游戲規則開始 。
“每一局的輸方下一局休息”，由于每局都會有一個人輸，所以相同的兩個人不會連續比賽兩場;任何一人也不會連續休息兩局 。還有一點，某人打的總局數等于他和另外兩個人分別打的局數之和，某人休息的局數就應該是另外兩個人打的局數 。
因此{錢vs孫｝=2 。小錢共打了8局，那么{錢vs趙｝=8-2=6 。小孫共打了5局，{孫vs趙｝=5-2=3 。3人總共打了2+6+3=11局 。小孫休息了6局，由于休息不能連續，則兩次休息之間至少間隔一場，則只能是1、3、5、7、9、11這6局，也就是第9局小孫在休息，小錢和小趙在比賽，本題答案為A 。
十三類比轉化思維
數學運算考察方式雖新穎多變，但萬變不離其宗，核心考察的依舊是考生對常見題型基本解題方法的運用 。但是，數學運算中那千變萬化的考察形式也讓不少考生感到頭疼，如何以不變應萬變，建議考生應熟練掌握類比轉化思維，從而達到化未知為已知，化腐朽為神奇的目的 。
【例題1】、一件商品，按50%的利潤售出70%的商品后，再打八折售出剩下30%的商品，則最終的利潤率是多少?
A.34% B.41%
C.60% D.55%
【答案】B
【解析】這道題一眼看上去，為我們所熟知的利潤問題，但是如果我們類比一番，將商品的利潤率類比為溶液的濃度，則很快就可以發現，這道題的本質實際上還是我們的溶液混合問題，即相當于將50%的利潤率的商品和150%×0.8-100%=20%的利潤率的商品按照7：3的比例混合，所以采用溶液問題中的十字交叉法求解：
設50%濃度的溶液和20%濃度的溶液混合的量為700和300，
則混合后溶質的量就是700×50%+300×20%=410,
而混合后溶液的量為700+300=1000，
因此混合后溶液的濃度就是410÷1000=41% 。
即最終的利潤率也為41% 。
【例題2】、李老師到文具店買圓珠筆，紅筆每支1.9元，藍筆每支1.1元，兩種圓珠筆共買了16支，花了28元 。問紅筆買了幾支?
A.13 B.3
C.5 D.10
【答案】A
【解析】此題一眼望去就是普通的方程求解問題，但仔細觀察可發現跟雞兔同籠問題非常類似，其中紅筆數量就是兔頭，紅筆價格是兔腳，藍筆數量是雞頭，藍筆價格是雞腳，就可以用雞兔同籠問題快速求解 。假設16支都是藍筆，那么一共應該有16×1.1=17.6元，但是有28元，少了10.4元 。少的錢來自哪里?是因為其中有一部分是紅筆，紅筆每支比藍筆貴0.8元，一共紅筆有10.4÷0.8=13支 。
例3、工廠組織職工參加周末公益勞動，有80%的職工報名參加 。其中報名參加周六活動的人數與報名參加周日活動的人數比為2∶1，兩天的活動都報名參加的人數為只報名參加周日活動的人數的50% 。問未報名參加活動的人數是只報名參加周六活動的人數的：
A.20% B.30%
C.40% D.50%
【答案】C
【解析】題中所給條件為百分數，結果也是求百分數，猛然一看很多同學都覺得無解，其實仔細觀察題干，會發現題目中參加周末活動的總人數為全集，參加周六和周日活動的人數為兩個子集，可類比轉換為容斥問題來求解 。已知都參加的人數：只參加周日的人數=1:2，就設都參加的為1人，只參加周日的為2人，則周日的總人數為3人，又因為周六：周日為2:1，則周六的總人數為6，因為都參加的人數重復了兩次，所以總共參與的人數為6+3-1=8 。有80%的職工參與，所以總職工人數為10，得出未參加活動的人數為2人，又因為只參加周六的人數為6-1=5人，所以比例為2/5=40% 。
思考一下，這道題用容斥原理來解決如何？
通過以上三道例題，不難發現，只要我們學會用類比轉化的思維，就可以把不熟悉的問題轉化為已經解決的問題，從而可以有效提高做題速度 。建議考生可以在平時的練習過程中，多嘗試、多思考，去發現這樣的類比轉化的情形 。
十四容斥原理
在計數時，要保證無一重復，無一遺漏 。為了使重疊部分不被重復計算，在不考慮重疊的情況下，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理 。
1.容斥原理1——兩個集合的容斥原理
如果被計數的事物有A、B兩類，那么，先把A、B兩個集合的元素個數相加，發現既是A類又是B類的部分重復計算了一次，所以要減去 。如圖所示：
公式：A∪B=A+B-A∩B
總數=兩個圓內的-重合部分的
【例題1】一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人?
數學得滿分人數→A，語文得滿分人數→B，數學、語文都是滿分人數→A∩B，至少有一門得滿分人數→A∪B 。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一門得滿分 。
2.容斥原理2——三個集合的容斥原理
如果被計數的事物有A、B、C三類，那么，將A、B、C三個集合的元素個數相加后發現兩兩重疊的部分重復計算了1次，三個集合公共部分被重復計算了2次 。
如圖所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重復計算了1次，黑色部分A∩B∩C被重復計算了2次，因此總數A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C 。即得到：
公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
總數=三個圓內的-重合兩次的+重合三次的
【例題2】某班有學生45人，每人都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人?
參加足球隊→A，參加排球隊→B，參加游泳隊→C，足球、排球都參加的→A∩B，足球、游泳都參加的→C∩A，排球、游泳都參加的→B∩C，三項都參加的→A∩B∩C 。三項都參加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人 。
3.用韋恩圖解題
韋恩圖，能夠將邏輯關系可視化的示意圖 。從韋恩圖可清晰地看出集合間的邏輯關系、重復計算的次數，最適合描述3個集合的情況 。
【例題3】某班有50 位同學參加期末考試，結果英文不及格的有15 人，數學不及格的有19 人，英文和數學都及格的有21 人 。那么英文和數學都不及格的有( )人 。
A.4 B.5 C.13 D.17
解析：如圖所示，按英文及格、數學及格畫2個圓圈，根據題干條件確定它們重疊 。
是不是輕松解決了？
十五雞兔同籠問題
已知雞兔的總頭數和總腿數，求雞和兔各多少只?這一類應用題，稱為“雞兔同籠問題” 。雞兔同籠問題變化很多，一些問題涉及的事物不是雞和兔，但具備雞兔同籠問題的基本特點，可以采用方程法或假設法求解 。
一、雞兔同籠問題的解法
【例題1】有大小兩種瓶，大瓶可以裝水5 千克，小瓶可裝水1 千克，現在有100 千克水共裝了52瓶 。問大瓶和小瓶相差多少個?
A.26個 B.28個
C.30 個 D.32個
解析：將大瓶裝水量視為兔腳，小瓶裝水量視為雞腳，假設全為小瓶，則大瓶數=(總水量-小瓶裝水量×總瓶數)÷(大、小瓶裝水量之差)=(100-1×52)÷(5-1)=12 個，小瓶數為52-12=40 個 。大瓶和小瓶相差40-12=28個，選B 。
二、得失問題的解法
在行測考試中，還有一類稱為得失問題的題型：運輸一批有若干箱的貨物，每箱可得x元，若損壞一箱，要賠償y元，最后運費為M元，損壞了幾箱?
這類問題可視為雞兔同籠問題的變形，與傳統雞兔同籠的不同之處在于損賠(或扣錢)的數目為負數 。
設得求失：損失件數=(每件應得×總件數-實得錢數)÷(件應得+每件損賠)
實得件數=總件數-損失件數
【例題2】加工300 個零件，加工出一件合格品可得加工費50 元，加工出一件不合格品不僅得不到加工費還要賠償100 元 。如果加工完畢共得14550元，則加工出合格品的件數是( ) 。
A.294 B.295 C.296 D.297
解析：假設全部合格，可賺50×300=15000元，實際少了15000-14550=450 元 。每加工一個不合格品減少50+100=150 元，因此共加工了450÷150=3 個不合格品，合格品有297 個 。
三、“三者同籠”問題
在雞兔同籠問題中，還存在“三者同籠”問題，這種情況下就需要轉化為“兩者同籠”的標準問題來解 。因此“三者同籠”問題的解題流程如下：
轉化為“兩者同籠”——找準雞、兔——套用相應公式
【例題3】蜘蛛有8 條腿，蜻蜓有6 條腿和2 對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現在這三種小蟲共18 只，有118條腿和18 對翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蟬各幾只?
A.5、5、8 B.5、5、7 C.6、7、5 D.7、5、6
解析：三者同籠，轉化為兩者同籠 。
首先，蜻蜓和蟬都是6條腿，計算腿的數量時將它們作為一個整體考慮，則兔=8條腿的小蟲，雞=6條腿的小蟲 。
假設全是6條腿的小蟲，套用設雞求兔的公式：兔數=(總腳數-每只雞腳數×總頭數)÷(每只兔腳數-每只雞腳數)，可得蜘蛛有(118-6×18)÷(8-6)=5只，那么蜻蜓和蟬共有18-5=13只 。
再假設這13只都是蟬，套用公式，得蜻蜓有(18-1×13)÷(2-1)=5只，蟬有13-5=8只 。
四、雞兔同籠的變形
還有一些問題，表面看不符合雞兔同籠的特征，實際上通過轉化，依舊可以按照雞兔同籠問題的解題思路來快速解題 。解題步驟為：①找出雞、兔腳數;②找出總頭數、總腳數;③套用公式 。
【例題4】甲、乙兩店相距7000 米，媽媽從甲店出發去乙店購物，開始以每分鐘50 米的速度前行，后來改乘汽車，每分鐘行300 米，結果共用30 分鐘到達乙店，求媽媽是在離甲店多遠的地方改乘汽車的國士.教育版權?
A.200米 B.400 米 C.600 米 D.800 米
解析：要求離甲店多遠的地方乘汽車，求出步行的時間，再乘步行速度即可 。
【行測運算題的解題技巧 裝卸過橋問題解答方法】要求步行的分鐘數，可假設全為乘汽車，套用設兔求雞公式，步行時間=(300×30-7000)÷(300—50)=8分鐘 。所以媽媽是在離甲店50×8=400米的地方改乘汽車的 。