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循環小數的意義 什么叫循環小數

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循環小數的意義 什么叫循環小數

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一．概念描述
現代數學：循環小數的定義一般有如下兩種：
①從小數點后某一位開始不斷地重復出現一個或一節數字的十進制無限小數，叫作循環小數或無限循環小數：被重復的一個或一節數字稱為循環節 。循環小數的縮寫法是將第一個循環節以后的數字全部略去，而在第一個循環節首末兩位上方各添一個小點 。如3.258258258……=3.258(2和8上添一個小點) 。
循環小數分為兩大類：混循環小數和純循環小數 。
混循壞小數：循環節不是從小數部分第一位開始的循環小數，如3. 258(5和8上添一個小點) 。
純循環小數：循環節從小數部分第一位開始的循環小數，如3.258(2和8上添一個小點) 。
②公理化定義：
循環小數是無限小數的一種特殊形式 。對一個無限小數0.a1a2…an ?！?，若能找到兩個正整數s≥0，t>0，使得as+i=as+kt+i 。（i=1，2，…，t;k=l，2，…）成立，則稱此無限小數為循環小數，記為0.a1a2…ass+1…s+t 。對于一個循環小數而言，滿足上式的s,t值有無數多個，如果取其中最小的s,t值，則稱as+1as+2…as+t為這個循環小數的循環節，t稱為循環節的長度；若最小的s=0，則這個循環小數稱為純循環小數；如果最小的s>0，則相應的循環小數稱為混循環小數，并把小數點之后至循環節之前的部分a1a2…as稱為非循環節 。任何一個循環小數必可化為分數 。
從數學的觀點看，第一個定義通俗易懂，小學數學教材的表述與其相似 。第二個定義科學嚴謹，體現了循環小數的本質 。
小學數學：2005年人教版教材五年級下冊的第28頁明確指出：一個數的小數部分，從某一位起，一個數字或者幾個數字依次不斷地重復出現，這樣的小數叫作循環小數 。
這與”循環小數”在現代數學中的第一個定義是基本上一致的 。在小學數學教材中考慮到學生的認知，不提及十進制，而是默認為十進制無限小數 。
二．概念解讀
循環小數是在實際度量和生產生活中產生的 。在度量和均分時，往往會出現這樣的情況：
在除法中，兩個數相除，如果得不到整數商，一般會有兩種情況：一種得到有限小數，一種得到無限小數 。在結果唯一的前提下，為了保證除法運算通行無阻，的確需要引進一種新的數，這樣分數便應運而生 。
循環小數其實是有理數的小數表現形式 。比如三分之一、七分之二等簡單的分數，在生活實際中有時又需將分數表示為小數，進而會出現循環小數 。
有時根據需要可以將循環小數化為分數 。這有兩種情況：
一個純循環小數的小數部分可以化成這樣的分數：分子是一個循環節所表示的數；分母的各位數字全是9，9的個數等于一個循環節中數字的個數 。
一個混循環小數的小數部分可以化成這樣的分數：分子是第二個循環節以前的小數部分的數字所組成的數，與小數部分中不循環部分的數字所組成的兩數之差；分母的前幾位數字全是9，9后面的數字全是0，9的個數等于一個循環節中的數字個數，0的個數等于不循環部分數字的個數 。
三．教學建議
循環小數是學生較難理解和表述的一個概念，特別是表達其意義的一些抽象說法，如”循環”、”無限”等 。因此，教學中教師要通過情境的創設，幫助學生理解概念 。
(1)循環小數的意義可通過直觀體驗突破難點
黃愛華老師在教學循環小數時，以”從前有座山，山上有座廟，廟里有個老和尚，老和尚對小和尚說：從前有座山，山上有座廟，廟里有個老和尚，老和尚對小和尚說……”這個故事引入 。學生在接著講故事的生動有趣的情境中，感受著、體驗著循環小數所具有的”無限”、”依次”、”不斷”、”重復”等本質特點，使抽象的數學概念具體化 。同時，教師用直觀形象的方法在課的開始掃除了障礙，使難點分散，為下面學習循環小數的意義做好了鋪墊 。
(2)循環小數的意義通過除法計算不斷完善
故事引入后，黃老師出示兩條信息：”烏龜6分鐘爬70米，蝸牛11分鐘爬9.4米”，讓學生獨立計算烏龜和蝸牛的速度 。(70÷6=11.66……，9. 4÷11=0. 85454……）
有些學生算了一會兒就停下了筆，有的懷疑老師出錯了題—他們發現這樣算下去永遠都除不完，這正是學生通過計算初步體驗循環小數的無限 。
黃老師進而引發學生思考”你為什么不繼續除下去？你遇到了什么情況，發現了什么規律？”，以引導學生通過觀察豎式發現其中的規律，讓學生在計算實踐中發現問題并嘗試解決，通過討論交流理解概念 。計算過程中，讓學生親身經歷循環小數產生的過程，能夠使其加深對循環小數的理解，充分感受到循環小數是無限的 。至此，黃老師再讓學生說一說什么是循環小數 。有了前面的直觀體驗，再通過計算的實踐，學生通過交流就能夠不斷完善循環小數的意義 。
接著，師生通過討論”該怎樣表示這兩道題的商呢？”，由此得出循環小數的一般記法 。
一般來說，學生的表示方法可能有以下幾種，教師可以結合學生的四答討論循環小數的記法
70÷6=11.6…… （表示小數部分無限，但未表示數字的重復）
70÷6=11. 66666…… （可以這樣表示，但太麻煩了，不用寫那么多”6″）
70÷6=11.6 （6上添一個小點；循環小數的簡便記法）
70÷6=11. 66…… （既表示無限，又表示了”6″這個數字不斷重復）
【循環小數的意義 什么叫循環小數】這是讓學生積極尋找解決表不循環小數的方法 。這一過程突出了知識的形成過程，揭示了簡寫背后蘊含的道理，使學生掌握其簡寫的方法 。