韓信點兵，多多益善 。說的是漢高祖劉邦有天閑著沒事干，就請韓信吃飯 。席中兩人都喝高了，回憶起當年一起打天下的舊事，開始吹牛打屁 。連劉邦也不得不承認，若論領兵打戰，沙場對敵，自己絕對不如韓信 。聊到帶兵的時候，劉邦就問韓信，你看我能帶多少兵韓信點兵歇后語下一句？韓信張口就來，陛下最多能帶10萬兵 。劉邦又問韓信，你能帶多少兵？韓信打著酒嗝不經思索的說我帶兵當然是多多益善 。

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劉邦聽后非常生氣，大罵韓信說:我只能帶10萬兵，你帶兵卻多多益善，那你怎么會被我管著呢？韓信嚇得立馬酒醒了過來，忙對劉邦說:陛下雖不善帶兵，但卻善帶統兵的大將 。劉邦聽后才轉怒為喜 。一場戲言囊成的殺身之禍，總算就此讓韓信有驚無險的遮掩了過去 。歷史上的韓信的確善能帶兵，素有兵仙的美譽，開拓大漢王朝的兵神，是個帶兵打仗的天才 。連蕭何也不得不承認，韓信帶兵的確是國士無雙 。
韓信被劉邦拜為大將軍之后，一路帶領漢軍明修棧道，暗渡陳倉殺了出四川，背水一戰破了陳國，老謀深算降了燕國，英明果斷殺了魏國，智勇雙全平了齊國，半度水淹滅了龍且，十面埋伏刎了西楚霸王 。為大漢朝的建立立下了赫赫的戰功 ?？梢哉f沒有韓信就沒有劉邦的帝業成就，沒有韓信，也就沒有大漢朝的誕生 ?？墒菤v史總是造化弄人，功高蓋主的韓信最終沒有逃脫飛鳥盡，良弓藏，鳥兔死，走狗烹的下場 。
話說回來，韓信點兵之所以要多多益善，就是因為韓信熟讀兵書，帶兵治軍用的是軍律，軍法 。也就是現在所說的制度 。一個將軍帶10萬兵用制度管理，和帶100萬兵用制度管理性質是一樣的，只要制度健全，就算帶1000萬的兵效果也是一樣的 。劉邦帶兵用的是親信，屬于人治的那種，能帶10萬兵，靠的是大家自愿自覺，這種人治的帶兵方法超過一定的數量就不靈了 。學武之人不過是個百人敵，讀兵書之人卻可以是個萬人敵 。
物不知數韓信點兵問題最早出自《孫子算經》 。《孫子算經》是中國古代非常重要的數學著作，因數學家 孫子 貢獻最大而得名（關于孫子的資料不可考），大約成書于東晉十六國時期，現存最早為北宋刻本，全書分三卷：《卷上》、《卷中》、《卷下》，主要講述 度量規定 和 算籌運算 以及基于 它們的 數學應為問題，韓信點兵為 《卷下》第二十六題 ”物不知數“，原文如下：

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今有物，不知其數 。三、三數之，剩二；五、五數之，剩三；七、七數之，剩二 。問物幾何？

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答曰：二十三 。

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術曰：“三、三數之，剩二”，置一百四十；“五、五數之，剩三”，置六十三；“七、七數之，剩二”，置三十 。并之，得二百三十三 。以二百一十減之，即得 。凡三、三數之，剩一，則置七十；五，五數之，剩一，則置二十一；七、七數之，剩一，則置十五 。一百六以上，以一百五減之，即得 。

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題目翻譯成現今的數學語言如下：

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有一個正整數 x，知 x 除以 3 余 2、除以 5 余數 3、除以 7 余數 2，求 x 的最小值 。

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這等價于求解《初等數論》中的 一次同余方程組：

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《孫子算經》給出的解法如下：

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尋中最小正整數 x?，滿足： x? 被 5 和 7 整除 并且除以 3 余 1，即，5|x?,7|x? 并且 x? mod 3 = 1 ②

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x? 被 5 和 7 整除，就意味著 被 5×7 = 35 整除，即，35 | x?，于是，令 x? = 35n（n ≥ 1）：

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當 n = 1 時 x? = 35，35 mod 3 = 2 不滿足 ② 舍棄；

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當 n = 2 時 x? = 70，70 mod 3 = 1 剛好滿足 ②，Bingo~~~ 。

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由于 x? ≡ 1 (mod 3)，故2x? ≡ 2 (mod 3)，于是 得到 2x? = 140，它滿足：除以 3 余 2 并且 被 5 和 7 整除 。

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同理，

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求得滿足：可被 3 和 7 整除 并且除以 5 余 1 的最小正整數 x? = 21，從而得到，同樣可被 3 和 7 整除 但 除以 5 余 3 的 3x? = 63；

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求得滿足：可被 3 和 5 整除 并且除以 7 余 1 的最小正整數 x? = 15，從而得到，同樣可被 3 和 5 整除 但 除以 7 余 2 的 2x? = 30；

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將上面的 結果 相加 得到： x’ = 2x? + 3x? + 2x? = 140 + 63 + 30 =233，則 容易驗證 x‘ 是 同余方程組 (1) 的一個解，但是 x’ 不是 最小整數解 x 。很容易可以發現 x’ 減去 一個 同時 被 3、5 和 7 整除 并且 不大于 x’ 的 整數，結果依然 是 (1) 的解，由于，同時 3、5 和 7 整除，就 意味著 被 3×5×7 = 105 整除，于是得出：

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x = x’ (mod 105)

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進而，有如下算法：

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令 x = x’；

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如果 x > 105（原文為 106 = x? + x? + x? ） 則 令 x = x – 105，否則 x 為 最終答案；

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具體過程如下：

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x = x’= 233

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[x = 233 > 105]： x = x – 105 = 233 – 105 = 128

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[x = 128> 105]： x =x – 105 = 128 – 105 = 23

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[ x = 23 < 105]：OK！
這樣就得到了最終答案：x = 23 。
將整個求解過程寫成算式就是：
x =2×70 + 3×21 + 2×15 – 2×(3×5×7) = 23
為了方便記憶，發明 珠算 和 卷尺 的明朝數學家 程大位，在其所著的 《算法統宗》 中，將 《孫子算經》的算法編成“孫子歌訣” 如下：
三人同行七十稀，
五樹梅花廿一枝，
七子團圓正半月，
除百零五便得知 。
注：正半月就是十五天，除是除去（減去）之意 。
韓信點兵韓信點兵 泛指 ”物不知數“ 此類 一次同余方程組 求解問題 。南宋著名數學家 秦九韶 對 《孫子算經》中的算法 進行了深入研究，將其擴展為『大衍總數術』，徹底解決了 韓信點兵問題，這就是 《初等數論》中的 中國剩余定理（也稱 孫子定理）：
設 m?, m?, …, m_n 是兩兩互素 的 正整數，那么對于任意整數 a?, a?, …, a_n 組成的 一次同余方程組：
在同余意義下，必有唯一解：
其中：
驗證：易知，
再結合 (3”)，由 (3′) 可以推出：
這就說明 (3′) 的確 是 (3) 的解 。
注：這里只是給出了定理的驗證，并沒有嚴格證明 同余意義下的唯一性 。證明 中國剩余定理，有多種方法大家有興趣可以參考《初等數論》 。
秦九韶 分別稱 M、M? 、 M??1 為 衍母、衍數、乘率，這里的關鍵是求 乘率 M??1，方法如下：
令，r 是 M? 除以 m? 的余數，即，
于是：
進而：
然后，讓 m?和 r 輾轉相除，得到：
到 r_k = 1 終止 。如果 向下進行一步就是：
前面再加上 (4)，整個過程 就是 歐幾里得輾轉相除法，因此 r_k 為 M?和 m?的 最大公約數，而 m?, m?, …, m_n 是兩兩互素，于是有： r_k = (M?, m?) = 1，這樣就證明了 最后 總可以 終止于 1 的正確性 。
接著，定義兩個數列：
有：
即，
假設，
則：
這樣歸納的證明了 (7) 成立 。
當 k 為偶數時 有：
于是：
比較 (5) 得到：
當 k 為奇數時，則 k + 1 是偶數，這就要算到 (6)，對 (6) 稍作變形：
于是，令，
并重新令：
則有：
這樣我們就將輾轉相除 又延長了一步 到 k + 1，這時 k + 1 是偶數，則同理上面 情況 可得到：
因為此算法最后總會終止于 1，所以 被 秦九韶 稱為『大衍求一術』，前綴 “大衍” 來自于《易經 · 系辭》：“大衍之數五十，… …” 。
當然，中國剩余定理 要求 m?, m?, …, m_n 必須兩兩 互素，對于那些 不滿足這個條件的 一次同余方程組 可以轉換為 和 其 同解 的 滿足這個條件的 一次同余方程組 。下面舉例說明：
有一筐鴨蛋，1個1個數，正好數完；2個2個數，還剩1個；3個3個數，正好數完；4個4個數，還剩1個；5個5個數，還剩1個；6個6個數，還剩3個；7個7個數，正好數完；8個8個數，還剩1個；9個9個數，正好數完 。請問：框里最少有多少個鴨蛋？
按照題目所述，列同余方程組如下：
顯然 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 并不兩兩互素，因此需要簡化：
一個數字必然被 1 整除，因此 ① 沒有意義，刪除； 一個數字被 9 整除，必然會被 3 整除，因此 保留 ⑨ 刪除 ③；一個數字 被 8 除余 1，則可以表示為 8x + 1，進而有 2(4x) + 1，4(2x) + 1，于是 x 一定 可以被 2 和 4 整除，因此 保留 ⑧ 刪除 ② 和 ④；目前已經保證了 被 2 除 余 1，可表示為 2x + 1，也保持了 被 3 整除，于是有3(2x + 1) = 6x + 1，這說明 目前已經保持了 被 6 除 余 3，因此 ⑥ 可以被刪除；最后剩下 ⑤ 和 ⑦ 保留 。得到：
則 (8′) 和 (8) 等價 。由于 5,7,9,8 兩兩互素，符合 中國剩余定理 要求，于是解：
◆M = m? m? m? m?= 5 × 7 × 8 × 9 = 2520
◆M? = 7 × 8 × 9 = 504
M? = q m? + r, 504 = 100 × 5 + 4 ,c? = 1;
m? = q? r + r?, 5 = 1 × 4 + 1,c? = q?= 1;(r? = 1，下標 1 是奇數，需要再算一步 )
r = q? r? + r?, 4 = 3 × 1 + 1, c? = q?c? + c? = 3 × 1 + 1 = 4；(得到結果)
M??1 = 4，M??1 M?a? = 4×504× 1= 2016；
◆ 由于 a? = 0 所以 M??1 M?a? = 0；
◆M? =5 × 7 × 9 = 315
M? = q m? + r, 315 = 39 × 8 + 3 ,c? = 1;
m? = q? r + r?, 8 = 2 × 3 + 2,c? = q?= 2;
r = q? r? + r?, 3 = 1 × 2 + 1,c? = q?c? + c? = 1 × 2 + 1 = 3；(r? = 1，下標 2 是偶數，得到結果)
M??1 = 3，M??1 M?a? = 3 × 315 × 1 = 945；
◆由于 a? = 0 所以 M??1 M?a? = 0；
得到：
x =M??1 M?a? +M??1 M?a? + M??1 M?a? = 2016 + 0 + 945 + 0 = 2961
x > M, x = x – M =2961 – 2520 = 441
最終答案：框里最少有 441 個鴨蛋 。
最后，需要說明的是：
數學大神歐拉和高斯 對于 一般一次同余式進行了詳細研究，獨立的得到了 中國剩余定理，后來證實 與 秦九韶『大衍求一術』相同，于是才命名該定理為：中國剩余定理 。
中國剩余定理，在《抽象代數》中還有另外的形式，不過這就扯遠了，就此打住 。
【韓信點兵歇后語下一句,為什么韓信點兵要多多益善？】（由于本人數學水平有限，出錯在所難免，歡迎各位老師批評指正?。?br />

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