crush另外一種意思,數學上的“連續”的概念，怎么理解？ _crush另外一種意思

（連續性在《數學分析》中是非常有影響力一個概念，它不僅本身發揮著重要作用（例如：作為函數的三大特性：連續性、可微性、可積性，之一）而且與許多其它概念都有關聯（例如：極限），所以，要搞清楚它著實需要花一些力氣crush另外一種意思！這里，小石頭準備用十個話題，將連續概念的全貌展現給大家，希望大家能喜歡！）

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連續就是一個接一個持續不間斷之意。日常生活中的繩子、電源線、項鏈都是具有連續性質的事物，這些事物都是由一個個子對象組成，這些子對象排成一條線，對象之間沒有間斷。

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數字天然可以根據大小關系排成一條線，于是數字組成的集合——數集，就有了研究聯系性的必要，這就引入我們今天討論的第一個話題：實數的連續性。

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最初，人們認為：

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整數集 Z 是不連續的，因為在 0 和 1 之間，存在 1/2 將它們隔開；

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有理數集 Q 是連續的，因為 Q 具有稠密性：在任意兩個不同的有理數之間，都存在無數個有理數；

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但是，后來隨著√2 的發現，人們才知道有理數之間還存在無理數，因此有理數集 Q 不連續，而有理數 + 無理數組成的實數集 R 才是真正連續的。

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同時，人們還認識到稠密性 ≠ 連續性，我們需要重新尋找實數的連續性的定義！早期，人們將實數和直線上的點一一對應，而幾何上，直線被定義為是連續的，因此與直線一一對應的實數集也是連續的，后來，經過漫長的歲月，數學家發現，對于某個數集 K，可以進行如下分割操作：

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K 的所有數字依從小到大，從左到右，在我們面前排成一條線。我們用刀去砍這條線，一刀下去，將一條線分為左右 A，B 兩段，顯然，A 和 B 滿足條件：

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左半邊 A 中的任意數字都小于右半邊 B 中的任意數字

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稱滿足上面條件的這種分割操作，為戴德金分割，記為 A|B 。人們發現，因 K 是否連續，戴德金分割的結果有差異：

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如果 K 不連續，則這條線上存在縫隙，當刀剛好從某個縫隙點穿過時，分割的結果是：A 沒有沒有最大值并且 B 沒有最小值；

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如果 K 連續，則這條線上不存在縫隙點，于是刀一定砍在某個點 x 上，又因為點不能被分割，于是刀要么從點 x 的左邊穿過，這時 B 的最小值是 x，要么從點 x的右邊穿過，這時 A 的最大值是 x；

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于是，大家就將上面的結論2 作為數集K的連續性定義。實數集 R 符合這個定義的要求而有理數集 Q 不滿足，我們稱實數為連續性系統，簡稱，連續統。

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不僅僅是直線，平面上的曲線也都是連續性的，而曲線又與實函數關聯，于是，連續的概念就成為實函數的一個重要性質。那么，具體是如何在實函數上定義連續性呢？這就是我們這里要展開的第二個話題。

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一個實函數 f(x) 定義為實數集 R 的子集E 到實數集 R 的映射，記為,f: E → R (E ? R) 。我們要搞清楚整個函數 f(x) 的連續性，就要先搞清楚函數 f(x) 在定義域中的每一個點 x? 處的連續情況。

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首先，如果 x? 點不存在，即，x? ? E，則函數 f(x)在x? 點看上去的確是不連續，我們稱這樣的點 x? 為奇點。

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但是，這種不連續是定義域 E 的不連續引起的，它屬于第一個話題討論的數集E 的連續性，而非這里要討論的函數 f 的連續性。函數既然是映射，那么其連續性應該體現為：保持連續性，即，

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將定義域 E 中的連續部分映射為值域 R 中連續的像集

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而對于E的不連續部分，由于根本沒有機會體現 f 的連續性，同時也無法找到不連續的證據，所有我們只能默認這部分點在 f 上是連續的。

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接下來，我們先分析 E 中的連續部分中的點。

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設 E 中 x? 附近定義域局部是連續的，如果 f 在 x? 點是連續性，則根據保持連續性要求，f(x?) 附近的影像也應該是連續性。但是，事實上，函數值 f(x?) 可以與其右邊、左邊或兩邊的函數值斷開，

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這些情況，都違反了保持連續性，因此這時函數 f(x) 在 x? 就是不連續的，我們稱這樣的點 x? 為 f(x) 的一個斷點。而只有當函數值f(x?) 與其兩邊的函數值都連貫，

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才能說函數 f(x) 在 x? 連續，我們稱這樣的點 x? 為 f(x) 的一個連續點。
我們仔細觀察，上面x? 左邊連續、右邊斷開的情況，
就會發現：
由于左邊連續，當 x 從左邊無限逼近 x?點時，函數值 f(x) 也會無限逼近 f(x?)；
而因為右邊斷開，當 x 從右邊無限逼近 x?點時，函數值 f(x)所無限逼近的值 A 和 f(x?) 之間相差斷開的間距 b ，從而不相等；
我們稱 x 從左邊、右邊或兩邊無限逼近 x?點時，函數值 f(x) 所無限逼近的值 A 為f(x) 在 x? 點的左極限、右極限或極限，分別記為：
也寫成：
這里 x → x? 表示： x無限逼近 x? 點，方向沒有限制；x?? 與 x??分別限制只從 x? 的左邊與右邊逼近。
則，根據上面的發現，函數 f(x) 在 x? 點連續，就意味著：f(x) 在 x? 點的極限是 f(x? )，即，
這就是，函數在點 x? 處連續的第一種定義。
接著，再考慮 E的不連續部分對于上面定義的影響。我們用 x → x? ∈ E 來表示在 E 內受 E 的制約下 x 無限逼近 x?，即，只有當E使得 x? 左（或右）連續時，從左（右）邊逼近才被啟用：
于是，上面的定義也相應修改為：
這樣以來，E的不連續性被從 f(x) 的連續性中完全排除，f(x)的連續性只要保證E 中連續的部分保持連續就好了。例如，以下 E 中的不連續點對于 f(x) 都是連續的：
特別是 x? 這樣的孤立點，使得既不能從左邊逼近也不能從右邊，于是逼近失去意義，它總是連續的！
最后，在函數 f(x) 關于點x? 連續性定義基礎上，我們只要再定義：
如果一個函數 f(x)在每一個點 x? 處都是連續的，則稱該函數f(x) 是連續函數。
前面的討論說明極限和連續性是緊密相關的，因此我們有必要開啟第三個話題，以通過進一步分析極限，來揭示連續性的根深層的內容。
上面極限定義中用箭頭表示的 “無限逼近” ，僅僅是一種直覺概念，并不是明確的數學定義。這種早期的微積分漏洞，后來被數學家用ε-δ 語言補足。
對于任意極限 x → x?, f(x) → A，我們令，
δ = |x – x?|
則 δ 表示當前 x 逼近 x? 的逼近距離，由于無限逼近要求x ≠ x?，所以逼近距離δ = |x – x?| > 0 。
同理，可以令，
δ\’ = |f(x) – A| > 0
于是，極限 x → x?, f(x) → A，可以描述為：
當 x 到 x? 的逼近距離 δ 無限小時，f(x) 到 A 的逼近距離 δ\’ 也跟著無限小。
這里 δ\’的無限小，就意味著：
給定義任意 f(x) 到 A 的逼近距離 ε都存在（δ 導致下的）逼近距離 δ\’< ε 。
將這句話，翻譯成數學語言，就是：
對于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得滿足 |x – x?| =ε 的點 x 有 |f(x) – A| < δ
這就是最初極限的 ε-δ 語言定義，但這個定義存在瑕疵，考慮下面的情況，
函數 f(x) = sin(1/x) 在逼近 x? = 0 時的值會不停在 -1 到 1 之間震蕩，所以x? = 0 應該沒有極限值才對。但是根據上面的定義，A = 0 卻是 x? = 0 處的極限，因為：
對于任意的 ε> 0 ，總存在δ = 1/ π > 0，使得滿足 |x – 0| = δ的 x = ±1/ π 有 |sin(1/x) – 0| = |sin(±π)| = 0 < ε
為了避免這種的情況發生，我們要求：
隨著 δ 的減小δ\’ 是遞減的，即，對于任意逼近距離小于 δ的逼近點 x，都有 f(x)到 A 的逼近距離小于 δ\’
翻譯成數學語言，就是：
對于任意滿足 0 < |x – x?| < δ 點 x 都有 |f(x) – A| < δ\’
用這個要求，修正前面的定義，最終 ε-δ 語言下極限的定義：
如果對于任意ε > 0，都存在 δ > 0，使得滿足 0 < |x – x?| <δ 的點 x 都有 |f(x) – A| < ε，則稱 A 是 f(x) 在 x? 點的極限。
對于，左極限或右極限，我們只需要在上面定義中，加入 x <x? 或 x > x? 的條件就可以了。
與極限類似，我們也可以用ε-δ 語言來描述前面的函數的一點連續性：
給定 f(x) 上的一點 x?，如果對于任意ε > 0，都存在 δ > 0，使得滿足 |x – x?| <δ 的點 x 都有 |f(x) – f(x?)| < ε，則 f(x) 在 x? 點處連續。
這里允許 x = x? （區別于極限的定義）有兩方面原因：
已經規定了 x?是 f(x) 上的點，即，x? ∈ E存在；
為了讓孤立點是連續點。
到此為止，我們所討論的函數連續性僅僅是對一元函數而言的，那么多元函數的連續性又是什么呢？在接下來的第四個話題中，我們來討論這個問題。
一個 m 元函數記為 f: E → R (E ? R?)，其中，
稱為 m 維歐氏（向量）空間，R1 = R 就是實數空間。
注意：這里變量的上標和變量的下標一樣，表示序號。
也就是說，多元函數 f(x) = f(x1, x2, …, x?) 就是以向量 x = (x1, x2, …, x?) 為變量的函數。
設 x? = (x1?, x2?, …, x??) ∈ E，并且 x? 周圍的定義域連續性。
我們，定義 x → x?為：
x1 → x1?, x2 → x2?, …,x? → x??
其中個變量的無限逼近是獨立的，這保證了向量 x 可以從任何方向逼近向量 x?。
這樣以來，前面一點連續的第一個定義中極限條件，對于多元函數，就解釋為：
接著，我們在 R? 中定義向量 x 與 x? 之間的距離為：
| x – x?| = √[(x1 – x1?)2 + (x2 – x2?)2 + … + (x? – x??)2]
注意：這里 () 的上標表示指數。
這樣以來，前面一元函數一點連續的 ε-δ 語言描述對于多元函數依然有效。
多元函數的連續性，依然是對 E 內部而言的，忽略 E 本身的不連續部分。
到這里，我們的升級并沒有結束。既然向量可以作為函數的變量，那么就可以作為函數的值，這樣的函數稱為向量函數。
多元向量函數f: E → R? (E ? R?)，可以認為是 n 個 m元函數的向量，即，
f(x) = (f1(x), f2(x), …, f?(x))
于是，前面一點連續的第一個定義中極限條件，對于多元函數，就解釋為：
而，上面已經定義了距離，故一點連續的 ε-δ 語言描述，對于多元向量函數也是無縫一致。
下面，以最簡單的多元向量函數——復函數為例，來看看上面抽象討論的具體面貌。
一個復函數，記為 f(z): C → C ，其中復平面 C 二維平面 R2 的擴展，具有 R2的完全性質。復函數可以寫為：
f(z) = u(x, y) +iv(x, y)
它將一個復平面上的任意點 z? = x? + iy? 映射為另一個復平面上的點 f(z?) = u(x?, y?) +iv(x?, y?)，同時，將整個前一個復平面映射為后一個復平面的一部分。
點 z? 附近的連續或間斷情況如下：
根據，前面討論，無限逼近 z → z? 解釋為 x→ x?, y →y? 。
極限連續條件：
在這里的意思是：z 從任意方向無限接近 z? 時，f(z) 都會無限接近f(z?)，解釋為：
用ε-δ 語言描述為：
對于任意實數ε > 0，都存在實數 δ > 0，使得對于一切|z – z?| < δ 的復平面上的點 z 都有 |f(z) – f(z?)| < ε 。
其中，復數間距離定義為：
|z – z?| = √[(x – x?)2 + (y – y?)2]
前一個話題中，提到多元函數定義域 E 的連續性，我們并沒有深究，其實這里是有問題的，在接下來的第五個話題中，我們來討論這個。
首先，我們思考：一條線上缺失點，則這條線一定斷開，不再連續，但，一個平面上缺失點，則只能說明這個平面有破洞，不再完整，不能說明平面不連續，更高維度的空間也是如平面一樣。因此，對于任意維度空間 V，來說，我們用完整的概念來代替連續，稱為空間 V 的完備性。可以認為，完備性是連續概念的升級，一維空間的完備性就是連續性。
其實，多元函數，也已經不僅僅局限是一條曲線了，它們可能是曲面或超曲面，其所謂連續性也只是表示曲面上沒有破洞，即，完整之意，但為了兼容性，我們依然稱之為函數連續性。
其次，我們第一個話題中討論的數集 K 的連續性定義，默認要求 K 中元素是可以排除一條直線，而高維度的空間是平面或超平面，根本就不是直線，因此這個定義無法被完備性使用，我們需要重新尋找，一種新的方法，來判定空間中是否有點的缺失。
要判定空間 V 中某個點 A 是否缺失，我們首先要指向這個點處，前面極限的無限逼近是一個好的思路，
如果我們可以找到：一個函數 f: E → V（E ? R），當 x 無限逼近 x? 時，f(x)無限逼近某處，則
如果 V 在該處沒有缺失，對應點 A，則 f(x) 在 x? 點的極限存在，就是 A；
如果 V 在該處缺失，則f(x) 在 x? 點沒有極限；
如果，判別函數 f(x)是無限逼近某處呢？原來的ε-δ 語言下的判別標準：
對于任意ε > 0，都存在 δ > 0，使得滿足 0 < |x – x?| <δ 的點 x 都有 |f(x) – A| < ε
顯然不行，因為我們無法確定 A 點是否存在，不過我們可以對這個判別標準，進行修改：
對于任意ε > 0，都存在 δ > 0，使得滿足 0 < |x – x?| <δ的任意兩點 x = x?, x? 都有 |f(x?) – f(x?)| < ε
這個新判別標準，避免了 A 的出現，但又可以證明與原判別標準等價，堪稱絕妙。
至此，我們就有了 V 完備性的一個粗糙條件，
任意一個在 x? 滿足新判別標準函數 f(x): E → V，都在 x?處有極限
這個條件有些復雜，可以做進一步簡化，我們固定 x? = ∞，讓 E 為自然數集 N 并令，
a? = f(0), a? = f(1), ….,a_n = f(n), …
這樣我們就將函數 f(x)轉化為序列 a?, a?, ….，函數 f(x) 在 x? 處是否極限，轉化為序列 a?, a?, …. 是否收斂。對于序列新判別標準也更簡單：
對于任意ε > 0，都存在自然數 N ，使得任意自然數m, n > N 都有 |a_m – a_n| < ε
稱，滿足這個條件的序列為基本列。于是空間 V 完備性的最終定義為：
如果 V 中任意基本列都是收斂列，則稱 V 是完備的。
這個定義，僅僅要求 V 中定義有距離 |a_m – a_n|，我們前面已經定義了歐氏空間 R? 中的距離，因此這個定義可以用于判斷歐氏空間的子集 E 的完備性。
空間 V 中的距離，是 V 上的二元函數 d(x, y): V × V → R，它滿足：
正定性：d(x, y) ≥ 0，d(x, x) = 0；
對稱性：d(x, y) = d(y, x)；
三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z)；
我們稱定義有距離函數的空間 V 為距離空間，記為 (V, d) 。可以驗證前面定義的距離滿足上面的條件。
空間完備性定義，對于任意一個距離空間都適用。
注意：一個空間可以定義多種距離函數，例如 R? 中也可以這樣定義距離：
d(x, x?) = |x1 – x1?| + |x2 – x2?| +… + |x? – x??|
上一個話題引入了距離空間的概念，如果我們回顧，前面多元向量函數的 ε-δ 語言所描述的連續性定義，就會發現，這個定義也僅僅依賴于距離。這說明，對于任意距離空間 (V, d?) 到 (W, d?) 的映射 f: V→ W，我們都可以定義其一點連續性為：
如果對于任意ε > 0，都存在 δ > 0，使得滿足 d?(x, x?) <δ 的點 x 都有 d?(f(x) – f(x?)) < ε，則 f(x) 在 x? 點處連續。
這樣我們就將函數的連續性推廣為距離空間間映射的連續性。到這里，大家不禁會問：有沒有比距離空間更一般的空間呢？如果有，這個空間上映射的連續性又是如何定義的呢？接下來的第六個話題，我們來討論這個問題。
讓我們回到最初，討論實函數的地方！
對于實函數 f(x) 定義域 E 中的任意集合 U，定義 U 在 f 下的像為：
f(U) = {y : ? x ∈ U，f(x) = y}
然后，再仔細觀察比較，f(x) 在 x? 點，兩邊斷開的情況，
以及兩邊連貫的情況，
我們就會發現：
如果 x?是間斷點，則存在真包括 f(x?) 的區域 V，對于任意真包括 x? 的區域 U 都無法使得 U 的像 f(U) 包含在 V 內；
如果x?是連續點，則對于任意真包括 f(x?) 的區域 V，都存在真包括 x? 的區域 U，使得 U 的像 f(U) 包含在 V 內，
其中，區域 U 真包括 x? ，的意思是： U 包括 x? 但不僅僅包括 x? 。
這里必須是真包括，因為，如果允許 U 只包括 x?，即，U = {x?} ，則 f(U) = {f(x?)} 顯然包含于 V，于是，上面的發現1 就不成立了。
考慮包含 x? 的開區間 (a, b)，因為 a < x?，根據實數的稠密性，一定存在 x? 使得 a < x? < x?，故 (a, b) 一定不僅僅包括 x?，于是，要讓 U 真包括 x?，我們只需要讓 U 包括包含 x? 的開區間 (a, b) 就可以了。我們稱包括 x? 的某個開區間的區域為 x? 的鄰域。
對上面的發現2進行整理，我們就可以得到實函數一點連續的第二個定義：
如果對于任意 f(x?) 的鄰域 V，都存在 x? 的鄰域 U，使得 f(U) ? V，則稱函數 f(x) 在 x? 點連續。
若，令 V = {y : |y – f(x?)| < ε}，U = { x: |x – x?| < δ }，則上面的定義其實就是第一個定義的 ε-δ 語言描述了。
對于多元向量函數，因為平面，超平面沒有區間一說，所有，我們用開集代替開區間，重新定義鄰域如下：
包括 x? 的某個開集的區域稱為 x? 的鄰域。
至此，這第二個定義，就可以無縫遷移到元向量函數上了。同樣以前面的復函數 f(z) 為例，觀察比較 z? 附近連續和間斷的情況，
這與前面的發現完全一致。
這個全新的一點連續定義僅僅依賴鄰域的概念，而鄰域又是由開集來定義，所以任意集合只要在其中指定開集，我們就可以得到其上映射連續性了。
指定了開集的集合 X，被稱為拓撲空間，如果用 τ 表示 X 中全體開集組成的子集族，則拓撲空間記為 (X,τ) 。開集是開區間的拓廣概念，它需要滿足如下條件：
全集 X 與空集 ? 都是開集；
任意多個開集的并依然是開集；
任意兩個開集的交依然是開集；
我們，可以證明拓撲空間是比距離空間更廣泛的空間。
拓撲空間之間的映射，稱為拓撲映射，其一點連續性，由第二個定義提供。
至此，關于映射的一點連續性，基本上算是討論清楚了，接下來的第七個話題，讓我們來討論一下映射整體連續性問題。
類似前面的連續函數概念，我們定義映射的整體連續性，如下：
如果映射 f在其定義域中每一點都連續，我們稱 f 是連續映射。
這個定義依賴，一點連續性！其實，對于拓撲空間 (X, τ?) 到 (Y, τ?) 的拓撲映射 f: X → Y，我們也可以用開集來直接定義其整體連續性。
對于映射 f 的值域任意區域 V ? Y，定義 V在 X 中的原像為：
f?1(V) = {x ∈ X : f(x) ∈ V}
再回到最開始，觀察比較，連續實函數與非連續實函數，
我們發現：
對于連續函數：任何開區間（開集） A 的原像 f?1(A) 依然是開區間（開集）；
對于非連續函數：存在開區間（開集） A 的原像 f?1(A) 不是開區間（開集）。
對上面的發現1，進行整理，我們就到如下關于拓撲映射整體連續性的定義：
如果拓撲映射 f，使得 Y 中的任意開集 A 的原像f?1(A) 依然是 X 的開集，
即，
? A ∈ τ? ? f?1(A) ∈ τ?
則稱 f 為連續映射。
除此之外，我們將閉區間推廣為閉集，定義如下：
開集關于全集X的補集，
然后，再根據進一步觀察比較，閉集于上面的情況，
不難發現：
對于連續函數：任何閉區間（閉集） A 的原像 f?1(A) 依然是閉區間（閉集）；
對于非連續函數：存在閉區間（閉集） A 的原像 f?1(A) 不是閉區間（閉集），
這說明，我們將上面拓撲映射整體連續的定義中的開集替換為閉集后依然有效。
上面的整體連續性是基于一個一個點的，可以稱為逐點連續，下面第八個話題，我們討論另外一種整體連續性——一致連續。
考慮實函數 f: E → R (E ? R)，如果對于任意實數ε > 0，都存在實數 δ > 0，使得對于一切|x? – x?| < δ 的 x? 和 x? 都有 |f(x?) – f(x?)| < ε，我們就稱 f 是一致連續的。
我們只要將 x? 替換為 x? 并固定，則上面的定義就是 x? 點連續的定義，然后再放開 x?，則上面的定義保證了每個 x? 處的連續性，進而，也就保證了逐點連續，因此一致連續的一定是逐點連續的。
但是反過來，逐點連續不一定是一致連續了。考慮前面那個函數 f(x) = sin(1/x)，我們令
E = (0, π]，x?= 1 /(kπ) ,x? =1/(kπ + π/2)，k 是自然數，
則有，
|x? – x?| = 1/[(2k + 1)kπ]
|f(x?) – f(x?)| = |sin(kπ) – sin(kπ + π/2)| = | 0 ± 1 | = 1
這樣以來，對于存在實數 1 > ε > 0，對于任意δ > 0，由于 E 中的點 x? 和 x? 可以無限小，于是總是存在 k 使得|x? – x?| = 1/[(2k + 1)kπ] < δ ，但 |f(x?) – f(x?)| = 1 > ε 。這說明 f(x) = sin(1/x) 在 E 上不是一致連續的。
那么，什么情況下，逐點連續一定是一致連續呢？
由于 f 逐點連續，則意味著給定任意 ε > 0，對于每個 x? ∈ E，都存在 δ_x? > 0 使得滿足 |x – x?| <δ_x? 的點 x 都有 |f(x) – f(x?)| < ε/2 。
令，V_x? = { x ∈ E :|x – x?| <δ_x?/2}，因為每個 x? ∈ E 都屬于一個 V_x? 所以，
如果，能從 E 中找到有限 n 個 x?：x?1，x?2 , …, x?? 保證：
則，令
δ = min {δ_x?1, δ_x?2,…, δ_x?? } / 2
由于，每個 δ_x?? > 0，而 n 是有限的，所以 δ > 0 。
注意：這里必須保證 n 有限因為，當 n 無限時，即便是每個 δ_x?? > 0，它們的最小值依然可以為 0，例如：
min {1, 1/2,…, 1/n, … } = 0
對于任意滿足|x? – x?| < δ 的 x? 和 x?，中必然有x? 屬于某個 δ_x??，滿足，
|x? – x??| < δ_x??/2
根據距離的三角不等式：
|a – b| ≤ |a – c| + | b – c|
有，
|x? – x??| ≤|x? – x?| + |x? – x??| < δ+δ_x??/2≤ δ_x??
由 |x? – x??| < δ_x??/2 < δ_x?? 與|x? – x??| < δ_x?? 分別可得到，
|f(x?) – f(x??)| < ε/2 與 |f(x?) – f(x??)| < ε/2
再次使用三角不等式，就得到：
|f(x?) – f(x?)| ≤ |f(x?) – f(x??)| + |f(x?) – f(x??)| < ε
這樣，就推導出了一致連續。
在推導過程中，我們要求：
可以從 E 的任何一個開區間（開集）的覆蓋（簡稱開覆蓋） V = {V_x? : x? ∈ E}，E ? ∪V 中找到有限個元素的子集 W = {V_x?1, V_x?2,…, V_x??} ? V 依然是 E 的覆蓋 E? ∪W 。
我們稱滿足上面要求的集合 E 為緊致的。
數學家證明了：任意閉區間都是緊致的！所以說，閉區間上的連續函數一定是一致連續的。
如果從新令 E = [π, 2π]，則 E 是一個閉區間，于是之上的連續函數f(x) = sin(1/x) 這會就變成一致連續的了。前面，由于 E 中的點 x? 和 x? 已經不可以無限小了，于是前面的反例也就不成立了。
不知不覺，已經到第九個話題，這里我們討論與連續概念相關的間斷和連通問題。
考慮實函數上 f 上任意一點 x? ，x? 與右（左）邊斷開，有兩種情況，
x? 的右（左）極限存在，但不等于 f(x?)，這種斷開稱為第一類間斷；
x? 的右（左）極限根本不存在，這種斷開稱為第二類間斷；
設 x? 是間斷點，如果 x? 只包含第一類間斷的間斷點，稱 x? 為第一類間斷點，否則稱 x? 為第二類間斷點。
如果第一類間斷點的左極限 = 有極限，則稱其為可去間斷點。
單調函數如果有間斷點則其必然是第一類間斷點。
前面我們用完備性替換連續性來描述空間是否有漏洞問題，如果空間的漏洞如刀痕，則這些刀痕是有可能將整個空間分割的，這就牽扯到了空間的連通性問題。
對于一個拓撲空間 (X,τ) 可以有兩個不同的連通：
如果 X 不能分割為兩個不相交的開集的并集，即，
? A, B ∈τ ? A ∩ B = ? ∧ A∪ B = X
則，稱 X 是連通的；
如果 X 中任意兩點 x, y 都存在從 x 到 y 的道路，即，
? x, y ∈ X ?? r: [0, 1] → X ? r(0) = x ∧ r(1) = y
則，稱 X 是道路連通的；
拓撲空間之間的連續映射 f: X → Y，可以保持連通性，即，如果 X 是連通的，則其在 Y 中的像 f(X) 也是連通的。連續映射也可以保持道路連通性以及前面的緊致性。這些可以被連續映射保持的性質，稱為拓撲性質。
最后，在第十個話題，我們對以上討論進行補充與總結。
首先，小石頭將以上討論中所提到的主要概念繪制成關系圖如下，方便大家理清。
其次，前面提到的有理數（實數）的稠密性，與有理數在實數中稠密是兩個概念。
我們說拓撲空間 X 的子集 A 在 X 中稠密，是指對于 X 中的每個點 x 都有 A 中的序列 a?, a?, …，收斂于 x（一般定義為： A 的閉包 ā = X）。
有理數在實數中是稠密，因為對于每個實數 x，
要么表示為有限小數，例如：x = 1/2 = 0.5，則，收斂于 x = 1/2 的序列就是 0.5, 0.5, …；
要么表示為無限循環小數，例如： x = 1/3 = 0.3?，則，收斂于 x = 1/3 的序列就是 0.3, 0.33, 0.333, …；
要么表示為無限不循環小數，例如： x = π = 3.14159?，則，收斂于 x = π的序列就是 3.1, 3.14, 3.141, …；
其三，連續性與可導性之間，靠極限關聯。由于，f(x) 在 x? 點的導數定義為：
如果 f(x) 在 x?處不連續，則當 x 趨近 x? 時，|x – x?| 趨近 0 ，|f(x) – f(x?)| 不趨近 0，這導致 f’(x?) = ±∞ ，即，f(x) 在 x?處不可導。
以上結論的逆反命題，就是：
f(x) 在 x?處可導則 f(x) 必然在 x?處連續。
反之則不成立！大名鼎鼎的 Weierstrass 函數，就是處處連續處處不可導的極端例子。
其四，函數連續性可以在函數的代數運算上保持，即，連續函數的加減乘除依然是連續函數。微分，積分也可以保持函數連續性。逐點收斂的函數序列，也可以保持函數連續性（而函數上的可導性與可積性，則要求是一致收斂）。
函數連續性還有一些性質（包括在中值定理中的作用），這里篇幅有限無法再展開討論了，以后有機會再說。
最后，以上討論以理解概念為主，小石頭幾乎忽略了能夠被省略的證明，如果大家對有些命題和定義有疑問，可以參考《數學分析》。
同時為了，讓概念更容易理解，以上討論也犧牲了嚴謹性，有寫論述可能不是那么數學。
還有，小石頭討論所選的切入角度和推進方式，都是針對學《高等數學》的條友而設計的，如果你是學《數學分析》可能沒有閱讀的必要，如果你沒有學過《高等數學》可能會引起不適合，請謹慎閱讀。
【crush另外一種意思,數學上的“連續”的概念，怎么理解？】(小石頭畢竟數學水平有限，出錯在所難免，歡迎大家批評指正！)