n次根號下n的階乘的極限是n趨于無窮大 。ε的任意性，正數ε可以任意地變小，說明xn與常數a可以接近到任何不斷地靠近的程度 。但是，盡管ε有其任意性，但一經給出，就被暫時地確定下來，以便靠它用函數規律來求出N 。
【n的階乘開n次方的極限】又因為ε是任意小的正數 ， 所以ε/2 、3ε、ε2等也都在任意小的正數范圍 ， 因此可用它們的數值近似代替ε 。同時，正由于ε是任意小的正數，我們可以限定ε小于一個某一個確定的正數 。一般來說 ， N隨ε的變小而變大，因此常把N寫作N(ε)，以強調N對ε的變化而變化的依賴性 。