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歐拉公式推導

生活百科公式


歐拉公式推導

文章插圖
歐拉公式推導如下 。
1、歐拉公式是e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位 。它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位 。
【歐拉公式推導】2、e^ix=cosx+isinx的證明： 因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展開式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=??i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!??x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 將公式里的x換成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i) ， cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式 。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： e^iπ+1=0 。