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六年級1道陰影面積題 半圓的面積怎么算

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六年級1道陰影面積題 半圓的面積怎么算

小學開始逐漸學習一些常見的平面幾何圖形，比如三角形、長方形、正方形、圓等；以及這些圖形簡樸的幾何性質，比如周長、面積等 。在小學數學中，陰影部分面積是一個常考題型，本文就和大家分享一道小學求陰影部分面積的題目，難住了不少大學生家長，有家長表示：先算算我們的心理陰影面積吧！
下面我們一起看一下這道題目 。
題目如上圖，已知長方形的寬為4cm，求陰影部分的面積 。
從圖就可以看出，這道題的難度確實不小，圖中涉及到了多種幾何圖形，而陰影的圖形又不規則，確實不太好解 。其實，把握方法后這道題并不難 。
我們先看一下下面這道比較簡樸的題目 。
如上圖，已知正方形的邊長為4cm，求陰影部分的面積 。
這道題的圖形比較簡樸，方法也多種多樣，我們來看幾種比較常見的方法，從而總結出規律，幫助我們解決文章開頭的那道題 。
方法一：切割法
觀察原圖，很輕易發現：連接陰影部分的對角線將陰影部分分成了如上圖面積相等的兩部分，只需求出一部分的面積，整體面積也就求出來了 。
求上圖的面積就非常簡樸了，只需用原面積的四分之一減去左下角三角形面積即可，即π×42/4-4×4/2=(4π-8)cm2 。
所以整個陰影部分面積為：(8π-16)cm2 。
方法二：旋轉法/對稱法
將原圖旋轉或者對稱變換到上圖的形式，很明顯兩個圖的陰影面積是相等的 。所以原圖的陰影部分面積等于上圖半圓的面積減去大三角形的面積，即π×42/2-4×8/2=(8π-16)cm2 。
方法三：容斥原理
在原圖中各部分標上序號，如上圖 。那么，陰影部分面積就等于圓面積的四分之一(扇形)減去①的面積，即②=S扇形-①；而①的面積又等于正方形面積減去扇形面積，即①=S正-S扇形，代入前式得到：②=2S扇形-S正=2π×42/4-4×4=(8π-16)cm2 。
對上面的結論進行分析，可以發現正方形的面積就是兩個扇形面積減去陰影部分面積，也就是減去了兩個圖形重合的部分，這就是容斥原理 。容斥原理是求陰影面積的重要方法 。
下面再看一道輕微復雜一點的容斥原理的應用，并認識容斥原理的解題過程 。
如上圖，長方形的長為6cm，寬為4cm，求陰影部分面積 。
第一步：先對各部分標號，如上圖；
第二步：用標號表示出基本圖形和陰影面積 。本題中，S小扇形=①＋②，S大扇形=②＋③＋④，S長方形=①＋②＋③，S陰影=②＋④；
第三步：根據標號，找出陰影面積與基本圖形面積的關系并計算結果 。如本題，②＋④=(①＋②)＋(②＋③＋④)-(①＋②＋③)，即S陰影=S小扇形＋S大扇形-S長方形=π×42/4＋π×62/4-4×6=(13π-24)cm2 。
回到文章開頭的題目，先對各部分標號，如上圖 。
S小扇形=②＋③＋④；
S大扇形=④＋⑤＋⑥；
S右上三角形=①＋②＋⑥＋⑦；
S長方形=①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦；
S陰影=②＋④＋⑥ 。
所以S陰影=S小扇形＋S大扇形＋S右上三角形-S長方形=π×22/2＋π×42/2＋4×8/2-4×8=(10π-16)cm2 。
【六年級1道陰影面積題 半圓的面積怎么算】這道題目看似難度很大，但是方法實際上很簡樸，容斥原理輕松搞定 。