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兩腰和上底面相等的梯形對角線垂直 | 等腰梯形一底邊和腰相等，對角線與腰垂直嗎

生活百科

對角線互相垂直的梯形是等腰梯形嗎？如果是證明一下；如果不是請舉出反例（畫圖，或描述） 。
暈，打了我10來個小時·~·#~！·謝謝給面子看啊~
|原創|復習
一、數與代數
A：數與式：1：有理數
有理數：①整數→正整數/0/負整數②分數→正分數/負分數
數軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（原點），選取某一長度作為單位長度，規定直線上向右的方向為正方向，就得到數軸 。
②任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示 。
③如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另外一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數 。
在數軸上，表示互為相反數的兩個點，位于原點的兩側，并且與原點距離相等 。
④數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大 。正數大于0，負數小于0，正數大于負數 。
絕對值：①在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值 。
②正數的絕對值是他本身/負數的絕對值是他的相反數/0的絕對值是0 。兩個負數比較大小，絕對值大的反而小 。
有理數的運算：加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加 。②異號相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值 。③一個數與0相加不變 。
減法： 減去一個數，等于加上這個數的相反數 。
乘法：①兩數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘 。②任何數與0相乘得0 。③乘積為1的兩個有理數互為倒數 。
除法：①除以一個數等于乘以一個數的倒數 。②0不能作除數 。
乘方：求N個相同因數A的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪，A叫底數，N叫次數 。
混合順序：先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括號里的 。
2：實數
無理數：無限不循環小數叫無理數
平方根：①如果一個正數X的平方等于A，那么這個正數X就叫做A的算術平方根 。②如果一個數X的平方等于A，那么這個數X就叫做A的平方根 。③一個正數有2個平方根/0的平方根為0/負數沒有平方根 。④求一個數A的平方根運算，叫做開平方，其中A叫做被開方數 。
立方根：①如果一個數X的立方等于A，那么這個數X就叫做A的立方根 。②正數的立方根是正數/0的立方根是0/負數的立方根是負數 。③求一個數A的立方根的運算叫開立方，其中A叫做被開方數 。
實數：①實數分有理數和無理數 。②在實數范圍內，相反數，倒數，絕對值的意義和有理數范圍內的相反數，倒數，絕對值的意義完全一樣 。③每一個實數都可以在數軸上的一個點來表示 。
3：代數式
代數式：單獨一個數或者一個字母也是代數式 。
合并同類項：①所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項 。②把同類項合并成一項就叫做合并同類項 。③在合并同類項時，我們把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變 。
4：整式與分式
整式：①數與字母的乘積的代數式叫單項式，幾個單項式的和叫多項式，單項式和多項式統稱整式 。②一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數 。③一個多項式中，次數最高的項的次數叫做這個多項式的次數 。
整式運算：加減運算時，如果遇到括號先去括號，再合并同類項 。
冪的運算：AM 。AN=A（M N）（AM）N=AMN（AB）N=AN 。BN除法一樣 。
A0=1，A-P=1/AP
整式的乘法：①單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指數不變，作為積的因式 。②單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加 。③多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加 。
公式兩條：平方差公式/完全平方公式
整式的除法：①單項式相除，把系數，同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數一起作為商的一個因式 。②多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加 。
分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式
方法：提公因式法/運用公式法/分組分解法/十字相乘法
分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么這個就是分式，對于任何一個分式，分母不為0 。②分式的分子與分母同乘以或除以同一個不等于0的整式，分式的值不變 。
分式的運算：乘法：把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母 。
除法：除以一個分式等于乘以這個分式的倒數 。
加減法：①同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減 。②異分母的分式先通分，化為同分母的分式，再加減 。
分式方程：①分母中含有未知數的方程叫分式方程 。②使方程的分母為0的解稱為原方程的增根 。
B：方程與不等式
1：方程與方程組
一元一次方程：①在一個方程中，只含有一個未知數，并且未知數的指數是1，這樣的方程叫一元一次方程 。②等式兩邊同時加上或減去或乘以或除以（不為0）一個代數式，所得結果仍是等式 。
解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數系數化為1 。
二元一次方程：含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程 。
二元一次方程組：兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組 。
適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解 。
二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程的解 。
解二元一次方程組的方法：代入消元法/加減消元法 。
2：不等式與不等式組
不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等式 。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變 。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，不等號方向不變 。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向相反 。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解 。②一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集 。③求不等式解集的過程叫做解不等式 。
一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是1的不等式叫一元一次不等式 。
一元一次不等式組：①關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組 。
②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集 。③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組 。
3：函數
變量：因變量，自變量 。
在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量 。
一次函數：①若兩個變量X，Y間的關系式可以表示成Y=KX B（B為常數，K不等于0）的形式，則稱Y是X的一次函數 。②當B=0時，稱Y是X的正比例函數 。
一次函數的圖象：①把一個函數的自變量X與對應的因變量Y的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象 。②正比例函數Y=KX的圖象是經過原點的一條直線 。③在一次函數中，當K〈0，B〈O，則經234象限；當K〈0，B〉0時，則經124象限；當K〉0，B〈0時，則經134象限；當K〉0，B〉0時，則經123象限 。④當K〉0時，Y的值隨X值的增大而增大，當X〈0時，Y的值隨X值的增大而減少 。
二、空間與圖形
A：圖形的認識：1：點，線，面
點，線，面：①圖形是由點，線，面構成的 。②面與面相交得線，線與線相交得點 。③點動成線，線動成面，面動成體 。
展開與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做棱，側棱是相鄰兩個側面的交線，棱柱的所有側棱長相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側面的形狀都是長方體 。②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱 。
截一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面 。
3視圖：主視圖，左視圖，俯視圖 。
多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形 。
弧，扇形：①由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇形 。②圓可以分割成若干個扇形 。
2：角
線：①線段有兩個端點 。②將線段向一個方向無限延長就形成了射線 。射線只有一個端點 。③將線段的兩端無限延長就形成了直線 。直線沒有端點 。④經過兩點有且只有一條直線 。
比較長短：①兩點之間的所有連線中，線段最短 。②兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離 。
角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點 。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒 。
角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點旋轉而成的 。②一條射線繞著他的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角 。始邊繼續旋轉，當他又和始邊重合時，所成的角叫做周角 。③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線 。
平行：①同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線 。②經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行 。
垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直 。②互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足 。③平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 。
3：相交線與平行線
角：①如果兩個角的和是直角,那么稱和兩個角互為余角；如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角 。②同角或等角的余角/補角相等 。③對頂角相等 。④同位角相等/內錯角相等/同旁內角互補，兩直線平行，反之亦然 。
4：三角形
三角形：①由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形 。②三角形任意兩邊之和大于第三邊 。三角形任意兩邊之差小于第三邊 。③三角形三個內角的和等于180度 。④三角形分銳角三角形/直角三角形/鈍角三角形 。⑤直角三角形的兩個銳角互余 。⑥三角形中一個內角的角平分線與他的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線 。⑦三角形中，連接一個頂點與他對邊中點的線段叫做這個三角形的中線 。⑧三角形的三條角平分線交于一點，三條中線交于一點 。⑨從三角形的一個頂點向他的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高 。⑩三角形的三條高所在的直線交于一點 。
圖形的全等：全等圖形的形狀和大小都相同 。兩個能夠重合的圖形叫全等圖形 。
全等三角形：①全等三角形的對應邊/角相等 。②條件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL 。
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，反之亦然 。
5：四邊形
平行四邊形的性質：①兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形 。②平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫他的對角線 。③平行四邊形的對邊/對角相等 。④平行四邊形的對角線互相平分 。
平行四邊形的判定條件：兩條對角線互相平分的四邊形/一組對邊平行且相等的四邊形/兩組對邊分別相等的四邊形/定義 。
菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 。②領心的四條邊相等，兩條對角線互相垂直平分，每一組對角線平分一組對角 。③判定條件：定義/對角線互相垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形 。
矩形與正方形：①有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形 。②矩形的對角線相等，四個角都是直角 。③對角線相等的平行四邊形是矩形 。④正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質 。⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形 。
梯形：①一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形 。②兩條腰相等的梯形叫等腰梯形 。③一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形 。④等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線星等，反之亦然 。
多邊形：①N邊形的內角和等于（N-2）180度 。②多邊心內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角，在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，他們的和叫做這個多邊形的內角和（都等于360度）
平面圖形的密鋪：三角形，四邊形和正六邊形可以密鋪 。
中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心 。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分 。
B：圖形與變換：1：圖形的軸對稱
軸對稱：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸 。
軸對稱圖形：①角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 。②線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等 。③等腰三角形的“三線合一” 。
軸對稱的性質：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段/對應角相等 。
2:圖形的平移和旋轉
平移：①在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移 。②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等 。
旋轉：①在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉 。②經過旋轉，圖形商店每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等 。
3：圖形的相似
比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然 。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D 。③A/B=C/D= 。。。=M/N，
那么A C。。。M/B D。。。N=A/B 。
黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC與BC，如果AC/AB=BC/AC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比（根號5-1/2） 。
相似：①各角對應相等，各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形 。②相似多邊形對應邊的比叫做相似比 。
相似三角形：①三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形 。②條件：AA/SSS/SAS 。
相似多邊形的性質：①相似三角形對應高，對應角平分線，對應中線的比都等于相似比 。②相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方 。
圖形的放大與縮小：①如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比 。②位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比 。
C：圖形的坐標
平面直角坐標系：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系 。水平的數軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸，X軸與Y軸統稱坐標軸，他們的公共原點O稱為直角坐標系的原點 。他們分4個象限 。XA，YB記作（A，B） 。
D：證明
定義與命題：①對名稱與術語的含義加以描述，作出明確的規定，也就是給出他們的定義 。②對事情進行判斷的句子叫做命題（分真命題與假命題） 。③每個命題是由條件和結論兩部分組成 。④要說明一個命題是假命題，通常舉出一個離子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子叫做反例 。
公理：①公認的真命題叫做公理 。②其他真命題的正確性都通過推理的方法證實，經過證明的真命題稱為定理 。③同位角相等，兩直線平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁內角互補，兩直線；平行，反之亦然；內錯角相等，兩直線平行，反之亦然；三角形三個內角的和等于180度；三角形的一個外交等于和他不相鄰的兩個內角的和；三角心的一個外角大于任何一個和他不相鄰的內角 。④由一個公理或定理直接推出的定理，叫做這個公理或定理的推論 。
三、統計與概率
1：統計
科學記數法：一個大于10的數可以表示成A*10N的形式，其中1小于等于A小于10，N是正整數 。
扇形統計圖：①用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統計圖叫做扇形統計圖 。②扇形統計圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數與360度的比 。
各類統計圖的優劣：條形統計圖：能清楚表示出每個項目的具體數目；折線統計圖：能清楚反映事物的變化情況；扇形統計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比 。
近似數字和有效數字：①測量的結果都是近似的 。②利用四舍五入法取一個數的近似數時，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位 。③對于一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到精確到的數位止，所有的數字都叫做這個數的有效數字 。
平均數：對于N個數X1，X2 。。。XN，我們把1/N（X1 X2。。。XN）叫做這個N個數的算術平均數，記為X（上邊一橫） 。
加權平均數：一組數據里各個數據的重要程度未必相同，因而，在計算這組數據的平均數時往往給每個數據加一個權，這就是加權平均數 。
中位數與眾數：①N個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數 。②一組數據中出現次數最大的那個數據叫做這個組數據的眾數 。③優劣：平均數：所有數據參加運算，能充分利用數據所提供的信息，因此在現實生活中常用，但容易受極端值影響；中位數：計算簡單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數據的信息；眾數：各個數據如果重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別的意義 。
調查：①為了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查，其中所要考察對象的全體稱為總體，而組成總體的每一個考察對象稱為個體 。②從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查，其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本 。③抽樣調查只考察總體中的一小部分個體，因此他的優點是調查范圍小，節省時間，人力，物力和財力，但其調查結果往往不如普查得到的結果準確 。為了獲得較為準確的調查結果，抽樣時要主要樣本的代表性和廣泛性 。
頻數與頻率：①每個對象出現的次數為頻數，而每個對象出現的次數與總次數的比值為頻率 。②當收集的數據連續取值時，我們通常先將數據適當分組，然后再繪制頻數分布直方圖 。
數據的波動：①極差是指一組數據中最大數據與最小數據的差 。②方差是各個數據與平均數之差的平方的平均數 。③標準差就是方差的算術平方根 。④一般來說，一組數據的極差，方差，或標準差越小，這組數據就越穩定 。
2：概率
可能性：①有些事情我們能確定他一定會發生，這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會發生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的 。②有很多事情我們無法肯定他會不會發生，這些事情稱為不確定事件 。③一般來說，不確定事件發生的可能性是有大小的 。
概率：①人們通常用1（或100%）來表示必然事件發生的可能性，用0來表示不可能事件發生的可能性 。②游戲對雙方公平是指雙方獲勝的可能性相同 。③必然事件發生的概率為1，記作P（必然事件）=1；不可能事件發生的概率為0，記作P（不可能事件）=0；如果A為不確定事件，那么0〈P（A）〈1 。
求證：在對角線互相垂直的梯形中，兩腰只和不小于兩底之和 。
證：
B、C做AC、AB平行于F，過D做AC平行線交BC線于E，DF 。
可證，∠DBF＝∠BDE＝90°，AC＝BF＝DE,CF=AB
所以，DB^2 DE^2=(BC CE)^2=(BC AD)^2
DB^2 BF^2＝DF^2
【兩腰和上底面相等的梯形對角線垂直 | 等腰梯形一底邊和腰相等，對角線與腰垂直嗎】即BC AD=DF
因為，CF CD=AB CD＞DF
所以，AB CD＞BC AD
命題得證


擴展資料：
判定一個任意四邊形為等腰梯形，如果不能直接運用等腰梯形的判定定理，一般的方法是通過作輔助線，將此四邊形分解為熟悉的多邊形，通過作平行線，將四邊形分解成為一個平行四邊形和一個等腰三角形 。
過頂點作一條對角線的平行線，把兩條對角線的數量關系和位置關系集中到一個三角形中，將求梯形上下底的長轉化為求直角三角形斜邊的長 。

在梯形中，以下結論：①兩腰相等；②兩底平行；③對角線相等；④兩底相等，正確的有（）A．1個B．2個
①兩腰相等的是等腰梯形，錯誤
②根據梯形的性質，正確
③對角線相等的梯形是等腰梯形，錯誤
④兩底相等的不是梯形，錯誤
故選A．
等腰梯形一底邊和腰相等，對角線與腰垂直嗎
肯定不垂直 。因為底邊、腰、對角線構成的三角形是等腰三角形 。如果對角線與腰垂直，則底邊成了斜邊，而斜邊不可能與直角邊相等，這與前提條件矛盾 。
已知等腰梯形的一條對角線與一腰垂直，上底與腰長相等，那么這個梯形的各個內角的大小分別等于
因為對角線是底角角平分線，設底角的一半為X，則90-X也是是底角
所以90-X=2X 。得出底角60度，你自己畫圖看看就明白了

等腰梯形的對角線互相垂直，上底為a，下底為b，則這個梯形的高時多少
解法1:等腰梯形對角線分為四個小三,由于其對角線互相垂,可知,中間的上、下小三角形皆為等腰直角三角形.
上面小三角形中最上方邊上的高為a/2;
下面小三角形中最下方邊上的高為b/2;
所以,梯形的高是a/2 b/2.
解法2:等腰梯形中,若對角線互相垂直,則它的高與中位線相等,所以它的高=(a b)/2=a/2 b/2.
解法3:過上底的一個端點作對角線的平行線,與下底邊的延長線交于一點,易知由"這剛作的線段與此兩條對角線相等,且與一條對角線垂直",可推出“剛作線段及下底所在的整個線段”所在的大三角形為等腰直角三角形,它的高即為梯形的高,這條高等于下底所在大線段的一半,也等于原梯形兩底和的一半.即高為：(a b)/2=a/2 b/2.
等腰梯形的對角線相互垂直,求證梯形的高等于上下底和的一半
過于追求多種解法是個誤區 。