性質特點相關計算正三棱錐的定義 _經驗分享

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基本信息編輯
中文名
正三棱錐
外文名
regular triangular pyramid
特點
錐體中底面是等邊三角形
定義
錐體中底面是正三角形，三個側面是全等的等腰三角形的三棱錐
性質
底面是等邊三角形
底面中心
也是重心、垂心、外心、內心
正三棱錐編輯
底面是等邊三角形的幾何體
正三棱錐是錐體中底面是正三角形，三個側面是全等的等腰三角形的三棱錐。正三棱錐不等同于正四面體，正四面體必須每個面都是全等的等邊三角形。
目錄
1性質2相關計算
性質
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1．底面是等邊三角形。
2．側面是三個全等的等腰三角形。
3．頂點在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、內心）。
4.常構造以下四個直角三角形（見圖）：

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正三棱錐V-ABC
（1）斜高、側棱、底邊的一半構成的直角三角形；（含側棱與底邊夾角）
（2）高、斜高、斜高射影構成的直角三角形；（含側面與底面夾角）
（3）高、側棱、側棱射影構成的直角三角形；（含側棱與底面夾角）
（4）斜高射影、側棱射影、底邊的一半構成的直角三角形。
說明：上述直角三角形集中了正三棱錐幾乎所有元素。在正三棱錐計算題中，常常取上述直角三角形。其實質是，不僅使空間問題平面化，而且使平面問題三角化，還使已知元素與未知元素集中于一個直角三角形中，利于解出。
相關計算
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基本公式
h為底高（法線長度），A為底面面積，V為體積，L為斜高，C為棱錐底面周長有：三棱錐棱錐的側面展開圖是由4個三角形組成的，展開圖的面積，就是棱錐的側面積，則：(其中

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為第i個側面的面積）

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三棱錐體積公式證明
如圖，這是一個一般的三棱柱ABC-A’B’C’，它的體積可以分為三個等體積的三棱錐，即三棱錐C-A’AB，三棱錐C-A’B’B，三棱錐A’-CB’C’.因為三棱柱的側面A’ABB’是平行四邊形，所以

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，即其中三棱錐C-A’AB與三棱錐C-A’B’B的底面積相等，它們兩個的頂點都是C，即C到它們底面的距離都相等，所以三棱錐C-A’AB與三棱錐C-A’B’B的體積相等。而三棱錐C-A’B’B也可以看作是三棱錐A’-BCB’，且三棱錐A’-CB’C’與三棱錐A’-BCB’的底面積相等（即△BCB’與△B’C’C的面積相等），且它們兩個的頂點都是A’，即A’到它們底面的距離都相等，所以三棱錐A’-CB’C’與三棱錐A’-BCB’的體積也相等，故三棱錐C-A’AB，三棱錐C-A’B’B，三棱錐A’-CB’C’的體積都相等，由此可見，一個三棱柱的體積等于三個等體積的三棱錐體積之和，即