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基本信息編輯
中文名
對稱矩陣
外文名
Symmetric Matrices
定義
元素以主對角線為對稱軸對應相等
形狀
n 階方陣
性質
對稱矩陣的轉置等于其本身
應用科學
數學
線性運算
滿足
對稱矩陣編輯
數學線性代數中的矩陣之一
對稱矩陣（Symmetric Matrices）是指元素以主對角線為對稱軸對應相等的矩陣 。在線性代數中，對稱矩陣是一個方形矩陣，其轉置矩陣和自身相等 。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)證明了別的數學家發現的一些矩陣類的特征根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特征根性質等 。后來，克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對稱矩陣的特征根性質 。泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關的結論 。
目錄
1基本性質2矩陣轉置3應用
基本性質
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1.對于任何方形矩陣
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是對稱矩陣 。
2.A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件 。
3.對角矩陣都是對稱矩陣 。
4.兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，當且僅當兩者的乘法可交換 。兩個實對稱矩陣乘法可交換當且僅當兩者的特征空間相同 。
5.用
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表示
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上的內積 。
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的實矩陣A是對稱的，當且僅當對于所有
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，
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。
6.任何方形矩陣X，如果它的元素屬于一個特征值不為2的域（例如實數），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：
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7.每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個復方形矩陣都可寫作兩個復對稱矩陣的積 。
8.若對稱矩陣A的每個元素均為實數，A是Symmetric矩陣 。
9.一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣當且僅當所有元素都是零的時候成立 。
10.如果X是對稱矩陣，那么對于任意的矩陣
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也是對稱矩陣 。
11.n階實對稱矩陣，是n維歐式空間
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的對稱變換在單位正交基下所對應的矩陣 。
矩陣轉置
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把一個
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矩陣的行，列互換得到的
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矩陣，稱為A的轉置矩陣，記為
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。
矩陣轉置的運算律(即性質)：
1.
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2.
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3.
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4.
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若矩陣A滿足條件
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，則稱A為對稱矩陣 。由定義知對稱矩陣一定是方陣，而且位于主對角線對稱位置上的元素必對應相等，即
【基本性質應用 什么叫對稱矩陣】
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對任意i,j都成立 。
應用
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1．對稱矩陣
（1）對稱矩陣
在一個n階方陣A中，若元素滿足下述性質：
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則稱A為對稱矩陣 。
（2）對稱矩陣的壓縮存儲
對稱矩陣中的元素關于主對角線對稱，故只要存儲矩陣中上三角或下三角中的元素，讓每兩個對稱的元素共享一個存儲空間 。這樣，能節約近一半的存儲空間 。
①按行優先順序存儲主對角線（包括對角線）以下的元素
即按次序存放在一個向量
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中（下三角矩陣中，元素總數為
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） 。
其中：
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……
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②元素
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的存放位置
a元素前有i行（從第0行到第
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行），一共有：
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個元素 。
在第i行上，
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之前恰有j個元素，即
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因此有：
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③
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之間的對應關系：
若
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若
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令
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，則k和i，j的對應關系可統一為：
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（3）對稱矩陣的地址計算公式
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通過下標變換公式，能立即找到矩陣元素aij在其壓縮存儲表示sa中的對應位置k 。因此是隨機存取結構 。
【例】a和a均存儲在
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中，這是因為
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