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標準差的意義 什么是標準差

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莖葉圖是一種顯示原始數據分布狀況的圖形，由“莖”和“葉”兩部分組成 。莖葉圖不僅能反映數據的分布特征，還能保留原始數據的信息 。莖葉圖適用于未分組的定量數據，特別是當數據量較少時 。

標準差的意義 什么是標準差

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要繪制莖葉圖，首先要把一個數字分成兩部分，通常以該數據的高位數值作為樹的“莖”，樹的“葉”只保留該數值的最后一位數字 。例如，425分為42|5，42為“莖”，5為“葉” 。然后，按照“莖”的大小順序排列，并把對應的“葉”列在“莖”的右邊 。如果某個“莖”對應的“葉”過多，可以將該“莖”重復一次或多次，以便觀察數據的細節 。

標準差的意義 什么是標準差

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下面是一個莖葉圖的例子：
8| 0 10| 0 10| 123456789 11| 0123456789 11| 0123456789 12| 0123456789 12| 0123456789 12| 56789 13| 0123456789 13| 0123456789 13| 123456789 14| 0123456789 14| 0123456789 14| 0123456789 14| 56789
【標準差的意義 什么是標準差】這個莖葉圖表示了一組8-20歲年齡的調研樣本 。從圖中可以看出，每個“莖”代表10個年齡段，每個“葉”代表一個樣本 。例如，第一行表示有一個8歲的樣本，第二行表示有一個10歲的樣本，第三行表示有10個10歲的樣本，依此類推 。

標準差的意義 什么是標準差

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從圖中還可以看出，數據的分布大致呈對稱形狀，沒有明顯的極端值或異常值 。我們可以用一些統計量來描述數據的分布特征，如中位數、平均數、標準差等 。
中位數是將數據從小到大排列后位于中間位置的數值 。如果數據個數是奇數，則中位數就是中間那個數；如果數據個數是偶數，則中位數就是中間兩個數的平均值 。在莖葉圖中，可以通過計算每個“莖”對應的“葉”的頻數來確定中位數所在的位置 。例如，在上面的例子中，共有150個樣本，所以中位數應該在第75和第76個樣本之間 。從圖中可以看出，第75個樣本是13歲，第76個樣本也是13歲，所以中位數就是13歲 。
平均數是將所有數據相加后除以數據個數得到的數值 。在莖葉圖中，可以通過將每個“莖”乘以主干寬度（即每個“莖”代表多少個單位），再加上每個“葉”的值來計算每個樣本的具體數值 。然后將所有樣本的數值相加，并除以樣本個數來得到平均數 。例如，在上面的例子中，主干寬度是10，所以第一個樣本的數值是80（8乘以10加上0），第二個樣本的數值是100（10乘以10加上0），依此類推 。將所有樣本的數值相加得到13200（80+100+101+…+145），再除以樣本個數150得到平均數88（13200除以150） 。
標準差是衡量數據離散程度的一個指標，它反映了每個數據與平均數之間的偏差大小 。標準差越小，說明數據越集中在平均數附近；標準差越大，說明數據越分散在平均數兩側 。在莖葉圖中，可以通過計算每個樣本與平均數之間的差值（即殘差）來得到標準差 。然后將所有殘差平方相加，并除以樣本個數減一來得到方差 。最后再開方來得到標準差 。例如，在上面的例子中，第一個樣本與平均數之間的殘差是-8（80-88），第二個樣本與平均數之間的殘差是12（100-88），依此類推 。將所有殘差平方相加得到11400（-8（2+12）2+…+57^2），再除以149得到方差76.51（11400除以149） 。最后再開方得到標準差8.75（76.51開方） 。