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數學分析偏導數例題詳解 偏導數題型總結

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數學分析偏導數例題詳解 偏導數題型總結

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上一篇我們解了一道題目：
這一篇 ， 我們把它搞復雜一點 ， 給指數也增加一個變量 。
有同學表示 ， 這回硬算都不行了 ， 3.03次方什么鬼？
這回要用到偏導數和全微分來近似計算了 。
考查一下上面的式子 ， 底數和指數上都有變量 ， 那我們先構建基本函數式 ， 并求偏導數：
將常數x=2 ， y=3分別代入各自的偏導數 ， 得：
那么 ， 用它的全微分近似地求變化值 ， 就得出了所求的值比2^3大多少 。
還有個對數 ， 好尷尬！還好我們前面講多項式展開的時候 ， 正好解過ln2=0.69314 ， 那就四舍五入直接拿來用了 ， 于是：
所以 ， 得：
用計算器校核一下 ， 2.02^3.03≈8.42 ， 誤差0.01.
它的幾何意義 ， 就是曲面f(x ， y)邊緣在X軸和Y軸兩個方向上的膨脹或收縮 。
再舉一個有實物意義的例子 。有一個圓柱體 ， 受壓后變形 ， 半徑由30cm增大到30.05cm ， 高度由100cm減少到99cm ， 求圓柱體體積變化的近似值 。先構建基本函數式 ， 并求偏導數：
取r=30 ， h=100 ， Δr=0.05 ， Δh=-1 ， 得：
【數學分析偏導數例題詳解 偏導數題型總結】即該圓柱受壓后 ， 體積約減小了600π立方厘米 。