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二次函數一般式 二次函數一般式化為頂點式的例題

知識經驗


二次函數一般式 二次函數一般式化為頂點式的例題

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大家好,小跳來為大家解答以上的問題 。二次函數一般式化為頂點式的例題，二次函數一般式這個很多人還不知道,現在讓我們一起來看看吧！
1、加油~~ CHEER YOU UP~~一、理解二次函數的內涵及本質 .二次函數 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0  ，  a 、 b 、 c 是常數）中含有兩個變量 x 、 y，我們只要先確定其中一個變量，就可利用解析式求出另一個變量，即得到一組解；而一組解就是一個點的坐標，實際上二次函數的圖象就是由無數個這樣的點構成的圖形 .二、熟悉幾個特殊型二次函數的圖象及性質 .1 、通過描點，觀察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 圖象的形狀及位置，熟悉各自圖象的基本特征，反之根據拋物線的特征能迅速確定它是哪一種解析式 .2 、理解圖象的平移口訣“加上減下，加左減右” .y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上減下”是針對 k 而言的，“加左減右”是針對 h 而言的 .總之，如果兩個二次函數的二次項系數相同，則它們的拋物線形狀相同 ， 由于頂點坐標不同 ， 所以位置不同，而拋物線的平移實質上是頂點的平移，如果拋物線是一般形式，應先化為頂點式再平移 .3 、通過描點畫圖、圖象平移，理解并明確解析式的特征與圖象的特征是完全相對應的，我們在解題時要做到胸中有圖，看到函數就能在頭腦中反映出它的圖象的基本特征；4 、在熟悉函數圖象的基礎上，通過觀察、分析拋物線的特征，來理解二次函數的增減性、極值等性質；利用圖象來判別二次函數的系數 a 、 b 、 c 、△以及由系數組成的代數式的符號等問題 .三、要充分利用拋物線“頂點”的作用 .1 、要能準確靈活地求出“頂點” . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →頂點（－ h,k ），對于其它形式的二次函數，我們可化為頂點式而求出頂點 .2 、理解頂點、對稱軸、函數最值三者的關系 . 若頂點為（－ h，k ），則對稱軸為 x= － h，y 最大（?。?=k ；反之，若對稱軸為 x=m  ，  y 最值 =n  ， 則頂點為（ m ，n ）；理解它們之間的關系，在分析、解決問題時，可達到舉一反三的效果 .3 、利用頂點畫草圖 . 在大多數情況下，我們只需要畫出草圖能幫助我們分析、解決問題就行了，這時可根據拋物線頂點 ， 結合開口方向，畫出拋物線的大致圖象 .四、理解掌握拋物線與坐標軸交點的求法 .一般地，點的坐標由橫坐標和縱坐標組成，我們在求拋物線與坐標軸的交點時，可優先確定其中一個坐標 ， 再利用解析式求出另一個坐標 . 如果方程無實數根，則說明拋物線與 x 軸無交點 .從以上求交點的過程可以看出，求交點的實質就是解方程，而且與方程的根的判別式聯系起來，利用根的判別式判定拋物線與 x 軸的交點個數 .五、靈活應用待定系數法求二次函數的解析式 .用待定系數法求二次函數的解析式是我們求解析式時最常規有效的方法，求解析式時往往可選擇多種方法，如能綜合利用二次函數的圖象與性質，靈活應用數形結合的思想，不僅可以簡化計算，而且對進一步理解二次函數的本質及數與形的關系大有裨益 .二次函數y=ax2學習要求:1．知道二次函數的意義．2．會用描點法畫出函數y＝ax2的圖象，知道拋物線的有關概念．重點難點解析1.本節重點是二次函數的概念和二次函數y＝ax2的圖象與性質；難點是根據圖象概括二次函數y＝ax2的性質.2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常數 ， a≠0)的函數都是二次函數.解析式中只能含有兩個變量x、y，且x的二次項的系數不能為0，自變量x的取值范圍通常是全體實數 ， 但在實際問題中應使實際量有意義 。
2、如圓面積S與圓半徑R的關系式S＝πR2中，半徑R只能取非負數 。
3、3.拋物線y＝ax2的形狀是由a決定的 。
4、a的符號決定拋物線的開口方向，當a＞0時，開口向上，拋物線在y軸的上方(頂點在x軸上)，并向上無限延伸；當a＜0時 ， 開口向下，拋物線在x軸下方(頂點在x軸上)，并向下無限延伸 。
5、｜a｜越大 ， 開口越??；｜a｜越小，開口越大.4.畫拋物線y＝ax2時，應先列表，再描點，最后連線 。
6、列表選取自變量x值時常以0為中心 ， 選取便于計算、描點的整數值 ， 描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢 。
7、本節命題主要是考查二次函數的概念 ， 二次函數y＝ax2的圖象與性質的應用 。
8、核心知識規則1二次函數的概念:一般地 ， 如果是常數，那么，y叫做x的二次函數．規則2拋物線的有關概念:圖13-14如圖13-14，函數y=x2的圖象是一條關于y軸對稱的曲線，這條曲線叫拋物線．實際上，二次函數的圖象都是拋物線．拋物線y=x2是開口向上的,y軸是這條拋物線的對稱軸 ， 對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點．規則3拋物線y=ax2的性質:一般地，拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂點是原點，當a＞0時，拋物線y=ax2的開口向上，當a＜0時，拋物線y=ax2的開口向下．規則41.二次函數的概念(1)定義：一般地，如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)，那么，y叫做x的的二次函數. (2)二次函數y＝ax2+bx+c的結構特征是：等號左邊是函數y，右邊是自變量x的二次式，x的最高次數是2.其中一次項系數b和常數項c可以是任意實數，而二次項系數a必須是非零實數，即a≠0.2.二次函數y＝ax2的圖像圖13-1用描點法畫出二次函數y＝x2的圖像，如圖13-1，它是一條關于y軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.因為拋物線y＝x2關于y軸對稱 ， 所以y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，從圖上看，拋物線y＝x2的頂點是圖象的最低點.因為拋物線y＝x2有最低點.所以函數y＝x2有最小值 ， 它的最小值就是最低點的縱坐標.3.二次函數y＝ax2的性質函數圖像開口方向頂點坐標對稱軸函數變化最大(小)值y=ax2a＞0向上(0,0)Y軸x＞0時，y隨x增大而增大；x＜0時，y隨x增大而減小.當x＝0時，y最?。?.y=ax2a＜0向下(0,0)Y軸x＞0時，y隨x增大而減?。?x＜0時，y隨x增大而增大.當x＝0時，y最大＝0.4.二次函數y＝ax2的圖像的畫法用描點法畫二次函數y＝ax2的圖像時，應在頂點的左、右兩側對稱地選取自變量x的值，然后計算出對應的y值，這樣的對應值選取越密集，描出的圖像越準確.二次函數y=ax2+bx+c學習要求：1．會用描點法畫出二次函數的圖象．2．能利用圖象或通過配方確定拋物線的開口方向及對稱軸、頂點、的位置．*3．會由已知圖象上三個點的坐標求出二次函數的解析式．重點難點1.本節重點是二次函數y＝ax2+bx+c的圖象和性質的理解及靈活運用，難點是二次函數y＝ax2+bx+c的性質和通過配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式 。
9、2.學習本小節需要仔細觀察歸納圖象的特點以及不同圖象之間的關系 。
10、把不同的圖象聯系起來，找出其共性 。
11、一般地幾個不同的二次函數，如果二次項系數a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小(即形狀)完全相同，只是位置不同.任意拋物線y＝a(x-h)2+k可以由拋物線y＝ax2經過適當地平移得到，具體平移方法如下圖所示：注意：上述平移的規律是：“h值正、負 ， 右、左移；k值正、負，上、下移”實際上有關拋物線的平移問題，不能死記硬背平移規律 ， 只要先將其解析式化為頂點式，然后根據它們的頂點的位置關系，確定平移方向和平移的距離非常簡便.圖13-11例如，要研究拋物線L1∶y＝x2-2x+3與拋物線L2∶y＝x2的位置關系 ， 可將y＝x2-2x+3通過配方變成頂點式y＝(x-1)2+2 ， 求出其頂點M1(1，2)，因為L2的頂點為M2(0，0)，根據它們的頂點的位置，容易看出：由L2向右平移1個單位，再向上平移2個單位 ， 即得L1；反之，由L1向左平移1個單位，再向下平移2個單位，即得L2.二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與y＝ax2的圖象形狀完全一樣，它們的性質也有相似之處 。
12、當a＞0時，兩條拋物線的開口都向上，并向上無限延伸，拋物線有最低點，y有最小值，當a＜0時，開口都向下，并向下無限延伸 ， 拋物線有最高點，y有最大值.3.畫拋物線時一定要先確定開口方向和對稱軸、頂點位置，再利用函數對稱性列表，這樣描點連線后得到的才是完整的 ， 比較準確的圖象 。
13、否則畫出的圖象 ， 往往只是其中一部分 。
14、例如畫y＝- (x+1)2-1的圖象 。
15、列表：x-3-2-10123y-3-1.5-1-1.5-3-5.5-9描點，連線成如圖13-11所示不能反映其全貌的圖象 。
16、正解：由解析式可知，圖象開口向下 ， 對稱軸是x＝-1,頂點坐標是(-1，-1)列表：x-4-3-2-1012y-5.5-3-1.5-1-1.5-1.5-5.5描點連線：如圖13-12圖13-124.用配方法將二次函數y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式，首先要提出二次項系數a 。
17、常犯的錯誤只提第一項，后面漏提 。
18、如y＝- x2+6x-21 寫成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符號弄錯，主要原因是沒有掌握添括號的規則 。
19、本節命題主要考查二次函數y＝ax2+bx+c的圖象和性質及其在實際生活中的運用 。
20、既有填空題、選擇題，又有解答題，與方程、幾何、一次函數的綜合題常作為中考壓軸題 。
21、核心知識規則1拋物線 y=a(x-h)2+k 的性質:一般地 ， 拋物線 y=a(x-h)2+k 與 y=ax2 形狀相同，位置不同．拋物線 y=a(x-h)2+k 有如下特點：(l) a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下；(2) 對稱軸是直線x＝h；(3) 頂點坐標是(h，k)．規則2二次函數 y=ax2+bx+c 的性質:y=ax2+bx+c （ a，b，c 是常數，a≠0）是二次函數，圖象是拋物線．利用配方，可以把二次函數表示成 y=a(x-h)2+k 的形式 ， 由此可以確定這條拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是  ， 當a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．規則31.二次函數解析式的幾種形式(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0).(2)頂點式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0).(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2) ， 其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，a≠0.說明：(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h＝0時 ， 拋物線y＝ax2+k的頂點在y軸上；當k＝0時 ， 拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上；當h＝0且k＝0時，拋物線y＝ax2的頂點在原點.(2)當拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應二次方程ax2+bx+c＝0有實數根x1和x2存在時，根據二次三項式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函數y＝ax2+bx+c可轉化為兩根式y＝a(x-x1)(x-x2).2.二次函數解析式的確定確定二次函數解析式 ， 一般仍用待定系數法.由于二次函數解析式有三個待定系數a、b、c(或a、h、k或a、xx2)，因而確定二次函數解析式需要已知三個獨立的條件.當已知拋物線上任意三個點的坐標時，選用一般式比較方便；當已知拋物線的頂點坐標時，選用頂點式比較方便；當已知拋物線與x軸兩個點的坐標(或橫坐標x1,x2)時，選用兩根式較為方便.注意：當選用頂點式或兩根式求二次函數解析式時，最后一般都要化一般式.3.二次函數y＝ax2+bx+c的圖像二次函數y＝ax2+bx+c的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.4.二次函數的性質根據二次函數y＝ax2+bx+c的圖像可歸納其性質如下表：函數二次函數y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數 ， a≠0)圖像a＞0a＜0(1)拋物線開口向上，并向上無限延伸.(2)對稱軸是x＝- ，頂點坐標是(- , ).(3)當x＜- 時，y隨x的增大而減?。壞眡＞- 時，y隨x的增大而增大.(4)拋物線有最低點，當x＝- 時 ， y有最小值，y最小值＝ .(1) )拋物線開口向下，并向下無限延伸.(2)對稱軸是x＝-，頂點坐標是(- , ).(3)當x＜- 時 ， y隨x的增大而增大；當x＞- 時 ， y隨x的增大而減小.(4)拋物線有最高點，當x＝- 時，y有最大值 ， y最大值＝ .5.求拋物線的頂點、對稱軸、最值的方法①配方法：將解析式化為y＝a(x-h)2+k的形式 ， 頂點坐標(h,k)，對稱軸為直線x＝h ， 若a＞0，y有最小值 ， 當x＝h時，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值 ， 當x＝h時，y最大值＝k.②公式法：直接利用頂點坐標公式(- , ),求其頂點；對稱軸是直線x＝- ,若a＞0，y有最小值，當x＝- 時，y最小值＝，若a＜0，y有最大值，當x＝- 時，y最大值＝ .6.二次函數y＝ax2+bx+c的圖像的畫法因為二次函數的圖像是拋物線，是軸對稱圖形，所以作圖時常用簡化的描點法和五點法，其步驟是：(1)先找出頂點坐標 ， 畫出對稱軸；(2)找出拋物線上關于對稱軸的四個點(如與坐標軸的交點等)；(3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來.7.二次函數y＝ax2+bx+c的圖像的位置與a、b、c及Δ符號有密切的關系(見下表)：項目字母字母的符號圖像的位置aa＞0a＜0開口向上 開口向下bb=0 ab＞0 ab＜0對稱軸為y軸 對稱軸在y軸左側 對稱軸在y軸右側cc=0 c＞0 c＜0經過原點 與y軸正半軸相交 與y軸負半軸相交8.二次函數與一元二次方程的關系二次函數y＝ax2+bx+c的圖像(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標xx2，是對應的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：Δ＞0 拋物線與x軸有2個交點；Δ＝0 拋物線與x軸有1個交點；Δ＜0 物線與x軸有0個交點(沒有交點). 。
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