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因式分解的概念 因式分解的概念的導入

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因式分解的概念 因式分解的概念的導入

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大家好,小跳來為大家解答以上的問題 。因式分解的概念的導入，因式分解的概念這個很多人還不知道,現在讓我們一起來看看吧！
1、因式分解（factorization）因式分解是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活 ， 技巧性強 ， 學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．而在競賽上，又有拆項和添項法，待定系數法 ， 雙十字相乘法，輪換對稱法等．⑴提公因式法①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的～. ②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出“－”號 ， 使括號內的第一項的系數是正的. ⑵運用公式法 ①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 ※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍. ③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). ④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 ⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)⑶分組分解法 分組分解法：把一個多項式分組后，再進行分解因式的方法. 分組分解法必須有明確目的，即分組后 ， 可以直接提公因式或運用公式. ⑷拆項、補項法 拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意 ， 必須在與原多項式相等的原則進行變形. ⑸十字相乘法 ①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解 這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和.因此 ， 可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） ②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解 如果能夠分解成k＝ac，n＝bd ， 且有ad＋bc＝m 時，那么 kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d） a -----/b ac＝k bd＝n c /-----d ad＋bc＝m ※ 多項式因式分解的一般步驟： ①如果多項式的各項有公因式 ， 那么先提公因式； ②如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解； ④分解因式 ， 必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止. (6)應用因式定理：如果f（a）=0 ， 則f（x）必含有因式（x-a） 。
2、如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個因式 。
3、經典例題：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.證明：對于任何數x,y，下式的值都不會為33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)當y=0時，原式=x^5不等于33；當y不等于0時，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立因式分解的十二種方法 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解 。
4、因式分解的方法多種多樣 ， 現總結如下：提公因法 如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式 。
5、 例 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 應用公式法 由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式 。
6、 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分組分解法 要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，并提出公因式a，把它后兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 對于mx +px+q形式的多項式 ， 如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 對于那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解 。
7、 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添項法 可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解 。
8、 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 換元法 有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然后進行因式分解，最后再轉換回來 。
【因式分解的概念 因式分解的概念的導入】9、 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法 令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通過綜合除法可知，f(x)=0根為，-3，-2，1 則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 圖象法 令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3 ， -1，2 則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先選定一個字母為主元 ， 然后把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解 。
10、 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此題可選定a為主元 ， 將其按次數從高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 1 利用特殊值法 將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合 ， 并將組合后的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式 。
11、 例1分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1 ， x+3，x+5 ， 在x=2時的值 則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系數法 首先判斷出分解因式的形式，然后設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解 。
12、 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式 。
13、 解：設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4) 。
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