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點關于直線對稱的點的求法公式推導 直線關于直線對稱的點的求法公式

小知識



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點關于直線對稱的點的求法公式推導 直線關于直線對稱的點的求法公式

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今天講解習題 ， 在同一張試卷中 ， 出現兩道點關于直線對稱的問題 。
這兩道習題都涉及到點關于直線對稱 ， 而我們求點關于直線對稱的點 ， 利用的方法是構造方程組：兩直線垂直 ， 即斜率之積等于-1,；兩點中點在對稱軸直線上 。依據是對稱軸是兩點的垂直平分線 。方法固定、簡單 ， 但是學生反應繁瑣 。當然我們可以選擇記憶公式 ， 可是公式比運算的繁瑣量并不低 。所以還是強調學生通過解方程組的方法求對稱點 。
【點關于直線對稱的點的求法公式推導 直線關于直線對稱的點的求法公式】但是我發現 ， 這兩道題中的對稱軸直線的斜率為1或-1 ， 當然這并不是偶然 ， 在解決點關于直線對稱的問題中 ， 這樣的對稱軸經常容易出現 ， 或許是因為這樣的直線比較容易計算一些 。
當然我們解決此類問題也可以選擇平移坐標軸 ， 使得直線為一三象限的角平分線或者二四象限的角平分線來完成 ， 這種方法 ， 我不再講解 ， 今天我著重介紹另一種方法：構造正方形 。
這樣的思路來源于在上課過程中 ， 我給學生強調構造方程組的依據是對稱軸是兩點的垂直平分線 。垂直平分？腦海中瞬間出現正方形 ， 正方形的對角線相互垂直平分 ， 于是 ， 我借助于圖形 ， 快速完美地解決了這類問題 。
以第一題為例：
我們容易發現 ， 
接下來 ， 我們構造正方形 。
那么其他的點呢？能否也能用這一方法求出對稱點呢？
我們選一不在坐標軸上的點來嘗試 ， 
如圖：
顯然是可行的 ， 我們在利用以上方法找出對稱軸斜率為1的情況 ， 更一般的情況：
你再來嘗試做一下最開始的第2題 ， 看看是否掌握這種方法 。
在這里需要注意的是 ， 這種方法只能解決對稱軸斜率為1或者-1的情況 ， 其他就沒有效果了 ， 譬如 ， 我們來看對稱軸斜率為2的直線：
顯然 ， 如果我們像上訴方法做出圖形后 ， 得出得是是矩形 ， 由于對角線與矩形邊所成的角不是45° ， 所以不是正方形 ， 也就是說 ， 盡管我們可以輕松求出其他點的坐標 ， 但是并不是垂直 ， 所以不可能是對稱點 。
而我們要得到對稱點 ， 得保證垂直平分 ， 即要作出正方形 ， 如下圖：
需要作出與對稱軸成45°的直線 ， 顯然直線不易作出 ， 交點坐標也不易找到 ， 所以此類方法適用于對稱軸斜率為1或者-1的情況 ， 而這種情況在解決點關于直線對稱的時候是常見的 。