近半個多世紀以來 ， 隨著計算機技術的迅速發展，數學的應用不僅在工程技術、自然科學等領域發揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經濟、金融、生物、醫學、環境、地質、人口、交通等新的領域滲透，所謂數學技術已經成為當代高新技術的重要組成部分 。不論是用數學方法在科技和生產領域解決哪些實際問題，還是與其他學科相結合形成交叉學科，首要的和關鍵的一步是建立研究對象的數學模型 ， 并加以計算求解 。數學建模和計算機技術在知識經濟時代的作用可謂是如虎添翼 。
數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學，在它產生和發展的歷史長河中 ， 一直與各種各樣的應用問題緊密相關的 。數學的特點不僅只在于概念的抽象性、邏輯的嚴密性，結論的明確性和體系的完整性，而且在于它應用的廣泛性 。20世紀以來，隨著科學技術的迅速發展和計算機的日益普及 ， 人們對各種問題的要求越來越精確，使得數學的應用越來越廣泛和深入，特別是進入21世紀的知識經濟時代，數學科學的地位發生巨大的變化 ， 它正在從國家經濟和科技的后備走到了前沿 。經濟發展的全球化、計算機的迅猛發展，數學理論與方法的不斷擴充使得數學已經成為當代高科技的一個重要組成部分和思想庫 ， 數學已經成為一種能夠普遍實施的技術 。培養學生應用數學的意識和能力已經成為數學教學的一個重要方面 。
1.1 出入門徑——認識數學模型與數學建模
數學建模是一種數學的思考方法 ， 是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段 。數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程 。這里的實際現象既包含具體的自然現象比如自由落體現象，也包含抽象的現象比如顧客對某種商品所取的價值傾向 。這里的描述不但包括外在形態，內在機制的描述 ， 也包括預測，試驗和解釋實際現象等內容 。
【數學建模的解題思路，需要培養哪些能力】我們也可以直觀的理解這個概念：數學建模是一個讓純粹數學家（指只懂數學不懂數學在實際應用中的應用的數學家）變成物理學家，生物學家，經濟學家甚至心理學家 ， 等等的過程 。數學建模一般是實際事物的一種數學簡化 。它常常是以某種意義上接近實際事物的抽象形式存在的，但它和真實的事物有著本質的區別 。要描述一個實際現象可以有很多種方式，比如錄音 ， 錄像，比喻，傳言 ， 等等 。為了使描述更具科學性，邏輯性，客觀性和可重復性，人們采用了一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象 ， 這種語言就是數學 。使用數學語言描述的事物就稱為數學模型 。有時候我們需要做一些實驗 ， 但這些實驗往往用抽象出來了的數學模型作為實際物體的代替而進行相應的實驗，實驗本身也是實際操作的一種理論替代 。
下面通過三個例子由淺入深讓大家明白什么是數學模型與什么是數學建模 。
例1-1 測量山高問題
小明站在一個小山丘上 ， 想要測量這個山丘的高度 。他站在山邊，采取了最原始的方法：從小山丘向下丟一小石子，5s后他聽到了從小山丘下傳來的回音，請各位嘗試建立數學模型估計小山丘的高度 。
【解題思路】
數學建模的初學者一看到這個問題也許會認為數學建模并不是一件困難的事情，因為很多學生在高中時就遇到過這個問題 。確實是這樣！這是一個比較簡單的實際問題（數學建模問題） ， 大家很容易得到
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運用自由落體公式，可以計算出山的高度 。也許有人會提出疑問：上述運算是數學建模嗎 ， 這樣數學建模不是很簡單嗎？是的 ， 可以認為這樣的運算過程就是數學建模 。上述建立的模型可以成為最理想的自由落體模型，因為這是在非常理想化狀態下建立的模型 ， 它沒有考慮任何其他可能影響測量的因素 。數學建模就是一個解決實際問題的方法 ， 上述方法解決了測量山高度的問題 。但是在此需要說明一旦：數學建模問題與其他數學問題不同，數學建模問題的結果本身沒有對錯之分，但有優劣之分 。建立模型解決問題也許不難，但是需要所建立的數學模型能夠有效地指導實際工作就比較困難了 。這正是數學建模的難點，也是各類數學建模競賽考查的主要內容 。下面繼續通過這個例子來解釋數學模型間的優劣之分 。
雖然上述理想的自由落體模型可以計算出山的高度 ， 但計算所得到的結果可能存在較大的誤差 。122.5m這個答案在高中考試中應該是一個標準答案 ， 不會認為這個答案是錯誤的 。但是測量隊在測量山高時絕對不會采用上述計算得到的結果，因為它可能存在較大的誤差，所以它是不能被接受的 。在研究這個問題的同時請各位不要忘記：現在這里研究的不再是一個抽象的理論問題而是具體的實際問題，各位所建立的數學模型或者結果應該能對實際工作有較強的指導意義，應該盡力使求得的答案貼近事實 。
那么在這個問題中我們還需要考慮哪些因素？例如人的反應時間，在現實中這是一個需要考慮的因素 。通過查找資料,可以知道人的反應時間約為0.1秒左右，那么計算式子在結果上能夠得到改善：
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數學建模競賽是一種開放性的比賽 ， 競賽過程中允許查找相關資料來幫助求解 。通過上面的分析可以發現117.649m比122.5m更加接近實際情況 。相比理想的自由落體模型，以上的數學建模過程可以稱為修正的自由落體模型 。就實際測量而言，修正的自由落體模型比理想的自由落體模型更加優秀，因為得到的結果更加接近實際 。兩種模型得到的答案也可以說都是正確的，兩種答案都是基于不同的假設前提得到的 。理想的自由落體模型假設不考慮人的反應時間 ， 如果你作為數學建模競賽的評委，相信你會選擇修正自由落體模型，因為它得到的答案更加接近實際情況 。
一個優秀的隊伍往往能夠做得更多！在考慮人的反應時間這一因素后，還有沒有其他因素需要考慮 ， 例如空氣阻力？各位有了這樣的思維外，還擁有微積分這一解題工具 。通過查閱相關資料，可以發現石頭所受空氣阻力和速度成正比，阻力系數與質量之比為0.2 。由此我們又可以建立以下微分方程模型：
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解微分方程得
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積分得
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在競賽培訓中很多學生可能認為自己的數學能力不夠好，因此打退堂鼓 。然而他們不知道現在已經有很多數學軟件可以幫助他們完成編程任務 。這樣使得所有專業的學生站在同一起跑線上參加競賽 。如果大家不能夠解決上述的微分方程，那么就交給軟件去做 。上述常微分方程，通過Matlab的編程計算一點也不困難 ， 僅僅一行代碼即可得到答案 。Matlab的人機交互界面做得很好，大家可以上機訓練 。
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實現微積分求解功能
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實現積分功能
數學建模競賽是一個開放式的競賽，大家可以借助一切手段（數學軟件、圖書資料等）得到你想要的結果 。正是因為這一點，可以使所有參賽的學生站在同一起跑線上 。整體來說數學軟件Matlab是一個非常龐大的軟件，要全部掌握它是很困難的，而數學建模競賽僅僅只用到其中的部分知識 。
通過以上計算可以發現 ， 計算結果得到了很大的改善，理想自由落體模型計算方法得到的山高122.5m的確存在著較大的誤差 。如果用心，大家可以做得更好 。在實際生活中 ?；匾魝鞑r間是另一個不可忽略的因素 。因此我們在上述模型的基礎上引入回音傳播時間t2，對模型進行如下 修改：
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得：
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在這個例題中，先后呈現了四種不同的解題方法 ， 也可以說四種不同的數學模型 ， 希望大家能夠通過這個例子體會到數學模型的真諦：能夠解決問題的方法就是數學模型，其本身沒有對錯之分，以上四種模型計算得到的答案應該說都是正確的 ， 但是其本身有優劣之分 ， 問題在于思考的角度 。它是一種新的思維方法 ， 從以上的例子可以得到，數學模型往往是以下兩個方面的權衡：
1、數學建模是用以解決實際問題的，所建立的模型不能太理想、太簡單，過于理想化的模型往往脫離實際情況，這就違背了建模的目的；
2、數學建模必須是以能夠求解為前提的 ， 建立的模型一定要能夠求出解，所建立的模型不能過于實際 ， 過于實際的模型往往難以求解，因此做適當的簡化假設是十分重要的 。
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