作者：XI區
01引言
想要知道一個西瓜的內部長什么樣 ， 皮厚不厚 ， 有沒有籽 ， 最好的辦法就是把西瓜切開來 ， 對于臨床來說 ， 為了獲得患者的體內信息而把病人切開是不現實的 。 傳統的X線設備能夠獲得一系列密度疊加的像 ， 但不能得到截面影像 ， 對于空間位置的識別不夠精細 ， 如何不用動刀就獲得準確的截面診斷信息成為了亟待解決的問題 。 CT的出現給我們提供了一種全新的成像手段 ， 它能獲取物體的截面信息 ， 輔助臨床診療 。
CT通過掃描來獲取投影值 ， 根據投影值來求解成像剖面上衰減系數的分布 ， 投影數據是用探測器采集的 ， 探測器上所成的像是物體疊加后的圖像 。 CT通常所說的正弦圖是通過拉東變換得到的 ， 它引入了一個狄拉克函數來當作點源 ， 投影數據是對物體的線積分 。 相當于把函數f(x,y)通過線積分表示成了另外的一種直線參數的形式 ， 把二維平面(x,y)坐標系映射到了直線參數（θ,P）坐標系 。 從物體的投影數據來得到物體的內部斷層成像的過程就稱之為圖像重建 。 圖像重建是一個數學工序 ， 它的目的是把投影數據中的疊加效應除去 ， 并營造出一個無重疊的原本物體的截面圖像 ， 這個數學工序叫做算法 。
02反投影與濾波反投影2.1解方程組
【淺談CT圖像重建的數理基礎】早期的算法研究以解方程組和反投影方法為主 。

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掃描得到的投影值
假設我們通過掃描得到了上面4個投影值 ， 那么任務就是要還原出真實的衰減系數分布 ， 對于上圖的矩陣 ， 我們可以列出一系列方程組：

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嘗試解這個方程組會發現不只一個解 ， 從線性代數的角度上 ， 這個方程組屬于欠定方程組 ， 4個方程不獨立 ， 把上面兩個方程相加 ， 把下面兩個方程相加 ， 這兩個方程就變成一樣的了 ， 方程數小于未知數個數 ， 它會有很多個解 ， 但二維圖像只能有一種可能 ， 那么要能夠得出唯一的解 ， 就需要獲得更多的投影值 ， 也就是添加更多的方程組 ， 對于CT來說就是變換不同的角度掃描 ， 采集更多的投影數據 。
而采集過程中不可避免的會引入噪聲 ， 導致方程組不相容 ， 對于超定方程組來說是無解的 ， 我們很多情況下只能得到它的近似解 。 而且CT的矩陣十分龐大 ， 運算量非常大 ， 這也導致方程的求解變得很不現實 。
2.2反投影
反投影提供一種求解衰減系數的新思路 ， 直接反投影將獲得投影值反投回去 ， 反投其實就相當于把投影值分配給各個像素 ， 由于事先并不知道真實的衰減系數分布 ， 只能均勻的“涂抹” ， 包括原先像素值為零的點 ， 這樣就會導致星狀偽跡 ， 造成圖像模糊 ， 邊界不清 。

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計算機模擬直接反投影導致的圖像模糊、邊緣失銳
2.3中心切片定理
為了解決這個問題 ， Bracewell利用傅里葉空間得出了中心切片定理和傅里葉重構算法 ， 從數學上證明了 ， 根據投影值是完全可以重建出原始圖像的 。 二維圖像的中心切片定理指出：密度函數f(x,y)的投影函數

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